CHAPITRE V11I. SUR QUELQUES DEVELOPPEMENTS EX SERIE IOI
ils s'introduisent dans de nombreuses questions d'Analyse et jouissent de curieuses propriétés arithmétiques ; voici la valeur des dix premiers
R 7 p 36i7 R 43867 R i746n 6 s 010 J 790 ooo
En adoptant ces notations, et en prenant p = in, la formule (2) peut s'écrire
l hf{x)=Lf(*)-\ àf\x) + 5£ AH*) - niT4 A^C*) + -
R A2"-2 + (- 1)- — ^=-f -s Lp"-*\x) + B2„+1 ,
en posant
R2n+1 = p0 p.~\ Lpj4-...+ - 1)« "— sp2n 2 •
+ i.a...anL 2'1 1.2' V ' 1.2. ..(2U — 2)' J
Si l'on prend pour o0, pY, ..., oin.2 les expressions qui comportent une intégrale définie, que l'on a rappelées un peu plus haut, on peut écrire
*Wi = - rr^n f1 * W /2n+1^ + ht) dt>
• "• Jç>
en posant
(5) h- ... -(,)« a"(a»-Q...(an-ai+i) B(l t)Mi+ ...
Dans cette formule, en avant des nombres de Bernoulli, figurent les coefficients binomiaux, pris de deux en deux, et relatifs à la
puissance 2n'ème. Avant de transformer l'expression de Ran+i, je ferai de la formule (4) une application qui nous conduira à des résultats importants en eux-mêmes et indispensables pour cette transformation.
Si l'on suppose que, clans la formule (4), f(x) soit un polynôme de degré inférieur à in -t- i, le reste disparaîtra de luimême ; on obtiendra ainsi des identités qui, en égalant dans les deux membres les coefficients des diverses puissances de x, fourniront des équations cjui permettraient de calculer successivement Bj, Bo, ... ; sans nous arrêter à ce point, prenons en particuli
1er
on aura
Le dernier terme contient [x — [x — i '] quand n est pair et [x2 — (x — i)2] quand n est impair. Si l'on désigne par p un nombre entier positif, que l'on remplace dans l'équation (6) x successivement par i, 2, ..., p et que l'on ajoute, on aura, après avoir divisé par n -+- i ,
) + B, ÈL+ife pn-l B> ¥±*)± (" " .!)(" - ") pn-2^ ... 1.
Le second membre de cette formule, quand on y replace l'indéterminée x au lieu de l'entier p, est ce que l'on appelle un polynôme de Bernoulli, je le désignerai dans ce qui suit par ©rti.x ; si l'on tient compte de la reman|uo |>récé<.leuiiuoiit l'aile à propos du dernier terme de la formule (> . on voit qu'il convienl d'écrire
