CHAPITRE VIII. SUR QUELQUES DEVELOPPEMEMS E>' SERIE Io

i , \ i \ o.,-m ÏB-fïïa .,. t, (271+021 9,, ,

B (2"+ 02» (2"— 0 (an — a) œ2n 3 + __ 2 i.2. 3. 4

( iVB (2,1 + T)2n---(2/lT2l+^ ^n-'-i+l , ' ' 1.2 ... 2 1

\ , . , in i „ . t, 2 7i r

27io,„!(a;)= a?2" x2'1-1 -h B, — ^

2« I 0„ , t, 271(271 Tj 9

R 2n(2n— i)(2/i — 2) (an— 3) t

, , .-p. 2ll(2n l)...(27l 2(H-l) „ ,.

Les formules (6) et (8) mettent en évidence les relations suivantes :

| On(x) — ?n(a" — à) = {x— l)B,

(9) ] <?2n{x) -H <?2n (— aé) = — a?2",

( ?2n-l (ar) — Îf2n-1 (—»)•=— X2"-',

En changeant dans la première de ces équations n en 2/1, x en 1 — x et ajoutant, membre à membre, à la seconde équation, on trouve

(10) <?ïn{x)^-oin(i—x) = o; on obtient de même

(iobis) <P2îi-i(z) — <Pin-i(i — as) = o.

Ces relations montrent que (p2n(x) est une fonction impaire de

1 , , . ti

x , et par conséquent s annule pour x = — ; au contraire

©2n-i (^ est une fonction paire de x — •

Les formules (8) montrent que tous les polynômes (Dn'Kx) sont nuls pour a? = o; la première des formules (9) montre ensuite qu'ils sont tous nuls pour x = 1 .

Enfin, si dans les équations (8) on prend les dérivées des deux membres, on trouve immédiatement

/ v ( ?'sn(a;) = 2n<?2n 1(a;) — (— i)BB„,

qui vont permettre d'établir la proposition suivante :

Le polynôme G2n/x) nul pour a? = o, x = -, x = i, garde le même signe pour les valeurs de x comprises entre o et , change de signe pour x = -, et garde un signe constant pour les valeurs

de x comprises entre et i . Le polynôme ©2,i+1 (x) > nul pour x = o

et x = i, garde un signe constant pour les valeurs de x comprises entre ces deux nombres.

Ce théorème se vérifie sans peine pour les petites valeurs de n; admettons qu'il soit vrai pour les polynômes (p2n-i(x), oin(x)> et démontrons qu'il subsiste pour les polynômes çWhO*1)' ¥in-\-i(x)-

Si le polynôme fîn+i (x) s'annulait pour une valeur a de x, autre

que o et i, appartenant à l'un des intervalles (o, J, i-, t L au

premier par exemple, sa dérivée ©'2„+1 [x) s'annulerait pour un nombre compris entre o et a, distinct de ces limites; il en serait de même, en vertu de la deuxième égalité (n), du polynôme (D2n(x), ce qui est contraire à l'hypothèse; il résulte de la même égalité que la fonction ©2n+1 (x) varie toujours dans le même sens

quand x croît de o à , et dans un sens contraire quand x croît

de à i : la fonction

(2« + 2)<p2„+1(œ) H- (— i)MB„+1 peut donc s'annuler seulement une fois dans l'intervalle ( °> ) e^ seulement une fois dans l'intervalle ( , i ); il en est de même de la

fonction <p'2n+2(aî) qui lui est égale, en vertu do la première égalité (ii). Or si la fonction <js.2„+2 :,'x) s'annulait pour une valeur 9,

de x autre que o, , i, comprise par exemple entre o et , la dé-

CHAP1TIIE VIII. SUR QUELQUES DEVELOPPEMENTS EN SERIE Io5

rivée 0>'2n+2 devrait s'annuler pour un nombre compris entre o

et fi, et pour un nombre compris entre fi et - , ce qu'on vient de

démontrer être impossible. Il résulte de ce qui précède que, clans

l'intervalle (o, i), la fonction <p2n+1(#) passe, pour x=l-, par un

maximum ou un minimum et que, dans l'intervalle (o, i ;, il n'y a pas d'autre valeur de la variable qui lui fasse acquérir soit un maximum, soit un minimum.

La valeur de ce maximum ou de ce minimum se trouve facilement en partant de ce fait que l'on obtient le polynôme <p„(œ) en multipliant par 1.3. 3. ... n le coefficient de zn dans le développement en série, suivant les puissances entières et positives de z, de la fonction (*)

exz — ez ez — 1

Cette proposition se vérifie immédiatement. La formule (B^ fournit les développements en série des fonctions

en multipliant la première série par

xz

et retranchant du résultat la seconde série, on obtient le développement cherché (2).

(') La plupart des propriétés des polynômes de Bernoulli peuvent se déduire de là. Voir sur ce sujet le Traité de calcul différentiel de M. Bertrand (p. 35a); j'ai emprunté au même ouvrage la démonstration de l'existence du maximum

ou du minimum pour x = - .

(-) Notons en passant que, en supposant x entier positif, la fonction considérée peut être remplacée par