f e* + e2= + ... -f ei'-l

et que le coefficient de zn dans le développement de cette expression est manifestement

T^ZTn Ll" + 2" + - + (* - *H

Il suit de là que (p.2n 1(-\ s'obtiendra en multipliant par

1.2 ... (2/1 — i) le coefficient de z-n~l dans le développement de

le second membre se développe de suite en série au moyen de la formule (B) et l'on trouve

Enfin la première égalité (xi) conduit à la suivante : ?sn(«) — c?2»(o) = in I ç>2„-i(œ)rfa; — (— i)"Bn,

d'où

Cl (—i)n

(i3) I toln^fp)dxs=^-—^Sw.

Jo 2 n

Nous sommes maintenant en mesure de transformer l'expression du terme complémentaire.

En comparant les équations (5) et (8), on voit que l'on a

le second membre, en vertu de l'égalité (io bis), est égal à 2ii(p2n i Ctj ; finalement on a

7,2)1+1 fa

(14) ïW. = J.a.„(a|1 l) |o ^n-liïf^ix + htïdt.

La fonction <P2n-i (0 ne changeant pas de signe dans l'intervalle (o, i) on peut appliquer à l'intégrale définie le premier théorème de la moyenne et, si l'on tient compte de l'équation (i3), écrire

(«&) l\ill+l = ^'^ V»+*tf*^ (c «- O/,),

en désignant par '0 un nombre compris entre o et i.