CHAPITRE VIII. ■ SUR QUELQUES DEVELOPPEMENTS EN SERIE IOy

Si dans l'intervalle (o, i) la fonction de t, f2n+1 (x -+- M), ne changeait pas de signe., on pourrait appliquer d'une autre façon le même théorème de la moyenne et, en s'appuyant sur ce que

fin-i ( ) est un maximum ou un minimum de la fonction ©=>„.! (t) dans l'intervalle (o, i), écrire

(16) %n+i = e L ii — ^ * .hl/ fc* a/2" (x),

en désignant par 6 un nombre appartenant à l'intervalle (o, ï). Les formules (i5) et (16) sont dues à Malmsten. Lorsque R2„+1 diminue indéfiniment quand n augmente indéfiniment, l'équation (4) peut être remplacée par une autre équation, dans le second membre de laquelle figure une série indéfinie. La convergence de cette .série n'a lieu que dans des cas très particuliers (') ; mais la formule (4) n'en a pas moins une grande importance ; on a vu plus haut comment elle fournissait immédiatement la somme des puissances nièmes jgg p premiers nombres entiers ; elle conduit de la même façon à une expression de la somme

/'(O +/'<!»-*- ■•-*./' Gp)

qui pourra servir à l'évaluation approchée de cette somme, si pour des valeurs convenables de n le reste complémentaire se trouve être suffisamment petit. Je me contenterai de citer dans cet ordre d'idées l'application de la formule d'Euler aux hypothèses suivantes :

h = J, f'(x) = loST(x),

A/(x) =f(x -+■ 0 — y» = a los' M -+- x los x — x,

en renvoyant le lecteur, pour le détail des calculs, au mémoire déjà cité de Malmsten. On parvient ainsi à la formule de Stirluhj savoir :

log r (X + i) = i lûg (27t) -t- Ix H- Ij log X — X

(an — 3) (an — .2) x2n— 3 (an — 1) 2/1 œ2n 1

(M Voir le mémoire de M. Darboux : Sur quelques développements en série. (2) L'expression, du reste, est due à Gauchy.

où $ est compris entre o et i. Cette formule, qui est légitime, pourvu que x soit positif, fournit des valeurs très approchées de r (x -h i), ou si x est entier, du produit 1.2 ... x, lorsque x est très grand.

La formule d'Euler, légèrement modifiée, permet aussi de calculer approximativement une intégrale définie.

Soit en effet F (x) une fonction continue et admettant des dérivées dans l'intervalle (a, b), et soit, en désignant par^j un nombre

. .P , b — a entier positit et en posant h = ,

S, = fc[F(fl) + F(o + A) + ..l + F(o+ (p — 1) h)] ; si, dans la formule (4), on remplace /' (as) par F (as), À/ (as) par

Xx-\-h F (x)dxet que l'on ajoute membre à membre toutes les

équations qu'on déduit de l'équation ainsi obtenue en y remplaçant successivement x par a, a -h h, a -\- ih, ..., a + (p — 1) h, on trouve

Sp = | F (x)dx — ^ [F (b) — F (a)]

+ ... H- (- 1)" lm^-\n~lj [F(2"-3) (6) - FC-'J (a)]

Quant au terme complémentaire, si l'on se reporte à la formule (i5), on voit qu'on pourra, en désignant par M-2n un nombre positif égal ou supérieur aux valeurs absolues de F(2,l) (aï) dans l'intervalle (a, b), et par B' un nombre appartenant à l'intervalle ( — 1,4-1), l'écrire sous la forme