Soit
une série dont les termes sont des fonctions bornées et intégrables de la variable x dans l'intervalle (a0, a) ; si cette série est uniformément convergente clans cet intervalle, au sens étroit (n° 182), il en est de même de la série
J"x rx rx
/, (x) dx 4- /a {x) dx -+- . . . -+- I /„ (x) dx -h ... ; «o «^ao " a0
soient © (x) et $ (x) les sommes respectives des séries (i) et (2) ; la fonction o [x) est bornée et intégrable dans l'intervalle (aa, a . et l'on a, pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à cet intervalle,
J^x o (x)dx.
Désignons en effet par Sn (x) la somme des n premiers termes de la série (1) et par R„ (x) le reste correspondant, en sorte que l'on ait
(5 (x) = Sn (x) -+- R„(œ).
Je dis d'abord que la fonction © (as) est bornée et intégrable dans l'intervalle (a0, aj.
Soit en effet s un nombre positif arbitraire ; puisque la série (1) est uniformément convergente, au nombre s correspond un nombre naturel p tel que l'on ait, pour toutes les valeurs de l'indice n supérieures à p et pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle (a0, a),
De cette inégalité et de ce que la fonction Su (x) est bornée, il résulte d'abord que la fonction <p (x) est bornée dans l'intervalle (a0, a). Dans ce même intervalle, l'écart de R„ (a?) est inférieur à 2î. Ceci posé, soit x une valeur quelconque appartenant à l'intervalle (a0, a) : la fonction S„(aî) étant, par hypothèse, intégrable dans l'intervalle [a0, x), au nombre positifs correspond certaine-
ment une décomposition de l'intervalle (a0, x), telle que la différence entre les sommes supérieure et inférieure, relatives à cette décomposition et évaluées pour la fonction Sn(x), soit moindre que £ ; la même différence, évaluée pour la fonction J\n(x), sera moindre que lia — ab) s, puisque l'écart de cette fonction est moindre que 2 s et que l'écart de l'intervalle (a0, x) est au plus égal à (a — a0) ; la même différence enfin, évaluée pour la fonction SM(cc) -+- Rn(x), ou (p(x), sera moindre que
comme z est arbitraire et que le facteur qui le multiplie est constant, ce produit peut être supposé plus petit que tel nombre positif arbitraire que l'on voudra ; il est donc démontré que la fonction y (x) est intégrable dans l'intervalle (a0, a) ; il en est de même de la fonction
Rn (x) = 0 (s) — S„ (x) et l'on a, pourvu que x appartienne à l'intervalle (a0, a),
J^x r*x Px
? (x) dx = S„ (x) dx + R„ (x) dx.
La seconde intégrale du second membre est, en valeur absolue, moindre que 1 [a — a0) ; on voit donc que, sous les seules conditions
J^x <p (x) dx et ao rx nx r*x nx
Sn(x)dx = | fï{x)dx-\-\ f2(x)dx H- ... -h j| f„(.r)Jx,
est moindre que s (a — a0) ; cette dernière quantité pouvant représenter tel nombre positif que l'on voudra, il est prouvé que la série (2) est uniformément convergente dans l'intervalle «$>, a et que
Px
sa somme <I> (x) est égale a m (x) dx.
Supposons, en conservant d'ailleurs les notations et les autres hypothèses, que la convergence de la série 1 ne soit assurée, dans
