CHAPITRE VII. INTÉGRALES DEFINIES l

d'une série convergente à termes positifs quelconque, ayant pour

somme A, et de multiplier chacun de ses termes par t-, en désignant par a un nombre positif quelconque plus petit que s. Ceci posé, puisque (E) est dénombrable, on peut en faire correspondre les éléments aux nombres de la suite naturelle i, 2, 3, ... : on regardera l'élément qui correspond au nombre n comme le centre d'un intervalle dont l'écart soit égal à un ; la somme des intervalles sera la somme de la série uv -+- «2 -+- ••• + Un + ... ; la proposition énoncée est évidente.

Par exemple l'ensemble des nombres rationnels qui appartiennent à l'intervalle (o, i) est dénombrable; il est donc de mesure nulle, au sens qu'on vient de dire. Il est clair que le mot mesure est pris ici dans un sens différent de celui de M. Jordan ; l'ensemble considéré, qui est dense dans tout l'intervalle (o, 1), a une étendue extérieure égale à i, une étendue intérieure égale à o ; il n'a pas de mesure au sens de M. Jordan.

La pensée d'un ensemble de mesure nulle, au sens qu'on a expliqué plus haut, et dense dans un intervalle choque quelque peu notre intuition spatiale, et le précédent exemple montrera peutêtre au lecteur qu'il ne faut pas se fier outre mesure à cette intuition, si féconde qu'elle soit : il justifiera peut-être aussi à ses yeux la minutie de certaines démonstrations. Quoiqu'il en soit, je pénétrerai un peu plus avant, en indiquant, d'après M. Borel (x), quelques résultats intéressants.

245. — Considérons, d'une part, l'intervalle [a, b), et, d'autre part, un ensemble (I), formé d'intervalles, qui peut, d'ailleurs, être fini ou infini, dénombrable ou non ; je dirai que cet ensemble (I) recouvre l'intervalle (a, 6), ou que les intervalles de (I) recouvrent (a, b) pour dire que chaque point de (a, b) est intérieur à quelque intervalle de l'ensemble (1). Ceci posé, on a le théorème suivant, dont j'emprunterai la démonstration à M. Lebesgue (2) :

Si l'ensemble d'intervalles (I) recouvre l'intervalle (a, b), il existe un nombre fini d'intervalles, appartenant tous à (I), dont l'ensemble (I0) recouvre (a, b).

(') Leçons sur la théorie des fondions, p. /|2. (2) Leçons sur ï intégration, etc., p. io5.

l4 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

Supposons en effet que l'ensemble (1) recouvre (a, b). Soit Œ) l'ensemble des points x de (a, b) tels que l'intervalle (a, x) soit recouvert par un nombre fini d'intervalles appartenant à (I) ; tout revient à démontrer que b appartient à (E). Observons d'abord que l'ensemble (E) contient certainement des points : tels sont les points de (a, 6) intérieurs à l'intervalle de (I) auquel a est lui-même intérieur. Soit xQ la borne supérieure de l'ensemble [E), ensemble dont tous les points appartiennent à (a, 6) ; le point x0 appartient lui même à (a, 6), soit qu'il appartienne à (E), ou qu'il en soit un point d'accumulation. Il y a donc un intervalle (a0, Bo), appartenant à (I), auquel le point x0 est intérieur ; il y a un point xi 0e * = x<>) appartenant à (E) et suffisamment rapproché de x0 pour être intérieur à la fois à (a, 6) et à (aQ, jSo). Puisque le point Xi appartient à (E), c'est que l'intervalle (a, xi) est recouvert par un nombre fini d'intervalles appartenant à (I) : adjoignons à ces intervalles, qui recouvrent (a, xi), l'intervalle (a.o, ]3o), s'il n'en fait pas déjà partie : on obtiendra ainsi un ensemble fini d'intervalles qui recouvrira manifestement l'intervalle (a, x), pourvu que x soit un point intérieur à (a0> /3o) ; en d'autres termes, x est certainement un point de (E) pourvu que x appartienne à (a, b) et soit intérieur à («o, |3o). En particulier x0 appartient à [E) ; enfin x0 est égal à 6 ; car si l'on avait x0 <C b. il y aurait, au-delà de x0, des points de (a, 6) qui seraient intérieurs à (a.Q, |30) ; x0 ne serait pas la borne supérieure de (i?) .

Il suit de là que, si l'ensemble (I) recouvre l'intervalle (a, 6) et s'il est dénombrable, en sorte qu'on puisse parler de la somme des intervalles qui le composent, on peut être assuré que cette somme dépasse (b — a) : en effet, la somme des intervalles de (I) est au moins égale à la somme des intervalles de (I0) ; ces derniers intervalles étant en nombre fini et recouvrant (a, b), leur somme est certainement supérieure à b — a ; c'est là un point sur lequel il me semble inutile d'insister.

Inversement, si l'on part d'un ensemble dénombrable d'intervalles (I), et si l'on sait que la somme a des intervalles de cet ensemble est inférieure à b — a, on peut être certain qu'il y a des points de l'intervalle (a, 6) qui n'appartiennent à aucun des intervalles de (I).

Supposons en effet, pour arriver à une contradiction, que chaque