CHAPITRE VIII. SUR QUELQUES DEVELOPPEMENTS E.\ SERIE III

l'intervalle (a0, a), qu'au sens large. On peut, à chaque nombre positifs, faire correspondre un nombre naturel n tel que Ton ait |R« (sc)| <C £ pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle (a0, a). Le raisonnement dont on s'est servi prouve que la fonction

<d (x) est intégrable dans l'intervalle ÇaQ, a) et que I Sn<x.dx est une valeur approchée de I o(x)dx avec une erreur moindre que

Jfa0> "

s (a — a0). erreur qui peut être supposée aussi petite qu'on le veut ; mais on ne peut conclure de là ni la convergence de la série (2 ,, ni

l'égalité de la somme de cette série à I q(x)dx\ on pourrait en

Ja0

effet s'éloigner de cette dernière quantité en prenant dans la série (2) plus de n termes.

Si l'on suppose par exemple (*J la série (l) telle que S» (as) soit égal à nxe~nx° ou à o suivant que n est impair ou pair, cette série sera uniformément convergente, au sens large, dans l'intervalle (o, 1) et ûq (x) sera égal à o. On a d'ailleurs suivant les cas

dx = - ( 1 ) , ou i S„ (x) dx == o.

La série (2) n'est pas convergente.

C'est sur le cas d'une série dont les termes sont des fonctions d'une variable x qu'on a appelé l'attention ; mais le lecteur, s'il veut bien se reporter au n° 181, n'aura aucune, peine à énoncer et à démontrer une proposition plus générale que le théorème relatif à l'intégration, terme par terme, d'une série. Ce dernier théorème entraîne la réciproque que voici :

Soit

ft{x) -hfjp) H- ...-t-/„HH- ...

une série convergente dans l'intervalle (a0, a), soit o(x) la somme de cette série ; supposons que, dans l'intervalle (<%,, a), les fonctions

(J) Cet exemple est dû à M. Osgood (Bulletin of the american mathematical sovÀety, 2e série, T. IX, p. 553).

fi (x), f2(x), ..., fn(x), ... admettent des dérivées continues /[(x), f'2(x), •■•,fn(oc), ... ; si, dans le même intervalle, la série

(4) /l'Œ+^aO + ...+/„ (*) + ...

est uniformément convergente (au sens étroit), la fonction cp(x) admettra une dérivée dans l'intervalle considéré et cette dérivée sera la somme ©' (se) de la série précédente.

Si en effet on applique à cette série le théorème direct, on voit que, en désignant par x un nombre appartenant à l'intervalle (a0, a), on aura

J^x nx r*x

<p' (ce) dx = I f[ (x) dx -+- /., (ce) rk + ... ; a0 J a0 Ja0

mais on a, en général

S'n {x) dx = fn (x) — /„ (a0),

puisque la fonction f'n(x) est continue dans l'intervalle (a0, a). On aura donc

<P»<te =/,(*)— /i(«o) +/«(*)— /»(°o) + •••

La fonction ©' (ce) étant continue, puisque la série (4) est uniformément convergente, cette égalité montre que <p' (x) est bien la dérivée de (d(x) (n° 251).

Une série peut être uniformément convergente, avoir pour termes des fonctions continues, sans que la série des dérivées soit convergente. La fonction sans dérivée étudiée au n° 237 peut servir d'exemple ; il en est de même de la série dont le nième terme est

sin (ï. 2.3 ... /i. x)