I +SC

l)"SC2»

i i „ 1.3... (an — i) ,„,

. = i + - se2 + ... H ^ '- se2'1 H- ...

V/i-se2 2 2.4... 2»

et que les trois séries qui figurent dans les seconds membres sont absolument convergentes dans l'intervalle ( — A, A) en supposant o<A<i; si donc x appartient à cet intervalle, si, en d'autres termes, sa valeur absolue est inférieure à i, on aura

se se3 , , .7;2n+1

arc tg se = -+- ... -h ( — i)

arc sin se

se i se3 1.3... (2/1 — i) x^n+i

En supposant toujours | x | <C 1, on démontrera de même que l'on a (n° 196)

,, ! . /i H- se se ath se = tos 1 / = —

D V 1 — se 1

ash se = log (se -]- \/i + se2)

on reconnaîtra plus tard que ces formules subsistent pour x = 1 ou x = — 1 lorsque les séries correspondantes sont convergentes : on reconnaît d'ailleurs immédiatement que celles des valeurs 1 ou

Tannerv II. — Introduction à la Théorie des fonctions S

se3 x~n^~l

se 1 se3

a-ïn+i

i qui rendent divergente une de ces séries rendent infinie la

fonction correspondante. On a déjà signalé (n° 193) l'utilité de certaines de ces séries pour le calcul des logarithmes. L'expression de arc tg x appliquée à l'identité, bien aisée à démontrer,

l = 4arc *« 5 ~ arc l§ àg

fournit le moyen facile de calculer % avec une très grande approximation.

Considérons encore la série

— n2rJ-

elle est uniformément convergente pour les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle — a, a), en désignant par a un nombre positif plus petit que n. La somme de cette série est d'ailleurs