CHAPITRE VIII. SUR QUELQUES DEVELOPPEMENTS EX SERIE Il

cette égalité, démontrée pour les valeurs de x comprises entre — t. et -h 7c, subsiste évidemment pour les valeurs — tt et -h -, qui annulent sin x, et pour toutes les valeurs de x à cause de la périodicité des deux membres. On voit ainsi comment se relient les résultats pour lesquels on avait été obligé de donner deux démonstrations distinctes (nos 200, 201).

267. — Les séries trigonométriques sont des séries de la forme

~ a0 -h (at cos x -h b{ sin x) -h (a2 c°s 2x -+- b± sin 2 3?) -+- ...

-h [an cos nx -+- bn sin nx) H- ... ;

x est une variable que l'on supposera, dans ce qui suit, appartenir à l'intervalle ( — n, -+- n) ; a0, ai, ht,..., an, b„,... sont des coefficients constants ; an cos nx -+- bn sin nx est le (n -h i)»ème terme

de la série ; on a affecté le premier terme du coefficient - pour la commodité des calculs ultérieurs.

L'importance de ces séries, qui se sont introduites naturellement dans l'Analyse pour la solution de certains problèmes de mécanique et de physique mathématique a été révélée par cette remarque, due à Fourier, qu'elle paraissent aptes à représenter une fonction quelconque définie dans un intervalle d'écart égal à 2 tt.

Soit en effet /(ce) une fonction bornée dans l'intervalle ( — n,.it) et supposons que l'on ait, pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à cet intervalle,

\f(x) = - a0 -+- (ai cos x 4- &j sin x) -+- (a2 cos 2x -+- b-2 sin 2x) / H- ... -h (a„ cos nx -+- bn sin nx) -h

Multiplions les deux membres par cos px, p étant l'un quelconque des nombres o, i, 2, 3, ... ; supposons que l'égalité subsiste quand on intègre le premier membre entre les limites — n et it, et le second, terme par terme, entre les mêmes limites, en sorte crue l'on ait

f(x) cos pxdx= - a0 / cos pxdx

(2)) %"/ r+Ti , r+iz \

/+ ^ La„ 1 cos nx cos pxdx -h bn I sin/ixcos/XEck] -+-...

C'est ce qui arriverait certainement si la série qui figure dans le second membre de l'égalité (i) était uniformément convergente dans l'intervalle ( — iz, tô). Si maintenant on tient compte des égalités

sin (n — p)x sin (n -+- p) x

I cos2 pxdx = - i (

cos (n -+- p)x cos (n — p) , 2 (n -(- p) 2 (n — p)

cos2 pxdx = ~ I (i -f- cos 2p#) cta = - -\ "" (p § o),

J sin p* mpxé. = I Jsin 2J,x<fc = - ± cos w qui entraînent les suivantes :

cos nx cos px dx = o

sin nx cos pcc c/a; ■= o

•-f TU

cos2 /)»; dx —

{pàn),

sin px cos pxdx = o,

on voit de suite que l'égalité (2) revient à celle-ci

I /(x) cos Pxdx = «;

en multipliant de même les deux membres de l'égalité (1) par sin px, et intégrant de la môme façon, on trouvera sans peine

-Lj{x)s[n

px

dx