CHAPITRE VIII. SUR QUELQUES DEVELOPPEMENTS EN SERIE II

Sans doute, si l'on ne sait rien sur la nature de la convergence de la série qui figure dans le second membre de l'égalité (i), les calculs qui précèdent ne sont en aucune façon légitimes; mais les formules (4) et (5) ont un sens pourvu que la fonction f(x) soit bornée et intégrable dans l'intervalle ( — tu, tu) ; il n'est même pas nécessaire que la fonction f(x) soit bornée dans Cet intervalle, pourvu que les fonctions f (se) sin px, f(x) cos px, qui peuvent elles-mêmes être infinies aux environs d'un nombre fini ou infini de valeurs appartenant à cet intervalle, soient intégrables, quel que soit l'entier p, entre les limites — tu et -+- tt. Dans ces conditions, il est bien naturel de se demander ce qu'est la série trigonométrique dont les coefficients ap, bp sont définis par les formules (4) et (5), si cette série est convergente dans l'intervalle ( — tu, n), si, dans cet intervalle, sa somme est égals kf(x). La recherche de conditions très larges, sous lesquelles on peut affirmer qu'il en est ainsi, a été l'objet d'un grand nombre de travaux importants. Je considérerai seulement le cas qui a été étudié par Lejeune Dirichlet, celui où l'intervalle ( — n, tu) peut être décomposé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction f(x) soit continue et varie dans le môme sens (si elle varie).

Si dans le (p -h i)>ème terme ap cos px -+- bp sin px de la série

(S) - «o H- (ai cos x -+- bi sin x) + ...-(- (a „ cos nx -+- bn sin nx) -+- . . . ,

on remplace les coefficients ap, bp par leurs valeurs déduites des formules (4) et (5), qu'il convient d'écrire sous la forme

av = - f (y) m* pydy, bP = - f(y)*™pydy

afin de ne pas confondre la variable se qui figure dans les termes de la série (S) avec la variable d'intégration, on trouvera

i f+u av cos px -+- bp sin px = - I f(y) cos p (y — x) dx ;