TT

on aura donc pour la somme S» des n 4- i premiers termes de la série (S),

s. = l £" */(r) ^dy,

Ilb INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

en posant pour abréger

T„ = — h cos (y — x) h- cos 2 (y — x) -\~ ... -h cos h (y —

mais en vertu de l'identité bien connue

cos a -h cos 2 a -+- ... -t- cos na,

sin 2 n -h i

on a

d'où

sin (an + i)

Tn = -

.y — x a sin - —

/>+„ sin (an + ^)J—~^

(6) S„ = I j M . ; dy,

*J '- a sin - —

en entendant que, pour y = as, le rapport

sin (2R+ i) J~

•in J—

doit être remplacé par sa vraie valeur n H — . Relativement à l'intégration, la quantité a? qui figure sous le signe I doit être regardée

comme un paramètre constant. La question posée revient ainsi à chercher si, lorsque n augmente indéfiniment par valeurs entières et positives, l'intégrale qui figure dans le second membre tend vers une limite et, s'il y a lieu, à évaluer cette limite. En faisant dans cette intégrale la substitution

y = x -+- iz, on aura

Tt X

c f 2 fi , \ sin (2/l + l)Z J