CHAPITRE VII. INTEGRALES DEFIMES

point de (a, b) appartienne à quelqu'un des intervalles de (I). Il ne lui sera pas nécessairement intérieur ; mais il est aisé de construire un ensemble d'intervalles (!') dont la somme sera encore inférieure à b — a, et tel que chaque point de (a, b) soit intérieur à un intervalle de (F) ; il suffît pour cela, en conservant son centre à chacun des intervalles de (I), d'agrandir un peu cet intervalle en le multipliant par (i -+- a) ; la somme des intervalles de (F) sera c(i -+- a) et il suffira de prendre le nombre positif a assez petit pour que cette somme soit moindre que (b — a) : tout point qui appartenait à un intervalle de (I) sera ^intérieur à l'intervalle correspondant de (F) ; ainsi, dans l'hypothèse où nous nous plaçons, l'ensemble (F) recouvre entièrement l'intervalle (a, b) ; il y a alors un ensemble fini (l'0), contenu dans (F), dont les intervalles ont donc une somme au plus égale à c(i -+- a) << b — a, dont enfin les intervalles, en nombre fini, recouvrent (a, b) : l'absurdité est manifeste.

Soit donc, en supposant toujours que la somme a- des intervalles de (I) soit moindre que b — a, (E) l'ensemble des points de (a, b) qui n'appartiennent à aucun des intervalles de (I) ; je dis que (E) n'est pas dénombrable ; si, en effet (E) était dénombrable, sa mesure serait nulle ; il y aurait un ensemble ($) d'intervalles, ayant une somme a' inférieure à b — a — c, et tels que chaque point de (E) fût intérieur à quelque intervalle de (3) ; l'ensemble (I) -+- (3) des intervalles qui appartiennent soit à (I) soit à (3) recouvrirait (a, b); la somme des intervalles de cet ensemble (I) -h (3) serait au au plus égale à. (7 H- a' et par conséquent moindre que b — a ; on a vu que cela était impossible.

Ce dernier résultat, l'impossibilité qu'il y a à ce que l'ensemble (E) soit dénombrable, n'a rien de surprenant lorsque cet ensemble contient tous les points d'un intervalle contenu dans (a, b), mais il n'en est pas toujours ainsi.

Prenons, par exemple, pour l'ensemble dénombrable (1) un ensemble d'intervalles dont les centres sont les points à abscisse rationnelle de l'intervalle (o, 1 ) et pour lequel la somme des intervalles soit moindre que 1. L'ensemble (E) est l'ensemble des points de l'intervalle (o, 1) dont aucun n'appartient à un intervalle de (I) ; si m, m' désignent deux points de cet ensemble, il y a certainement entre m et m' un point r à abscisse rationnelle ; il est le

l6 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

centre d'un des intervalles de (I) qui sépare ainsi les deux points m, m' ; entre deux points quelconques de l'ensemble non dénombrable (E), il y a des points qui n'appartiennent pas à (E) : il est impossible que tous les points d'un intervalle, si petit qu'il soit, appartiennent à (E).

246. — Soit f[x) une fonction de x définie dans l'intervalle (a0, a) ; je désignerai sous le nom de somme 2 relative à la décomposition (a0, ah ..., an—i, a) (a0 -< a± < a* <C ... <C a), la somme

La fonction f(x) est dite à variation bornée dans l'intervalle (a0, a) s'il existe un nombre positif A qui dépasse toutes les sommes 1, relatives aux diverses décompositions possibles de l'intervalle (a0, a).

Si la fonction f(x) est à variation bornée dans l'intervalle (a0, a), elle est aussi à variation bornée dans tout intervalle (a, |3) contenu clans (a0, a), puisqu'on peut faire figurer les nombres a, B parmi les nombres intercalaires. Toute somme relative à une décomposition de l'intervalle (a, ]S) est moindre que A. On a d'ailleurs.

l/(«) -/(«<>) I ^ ]/(«,) -/(«„) I + [/(«*) -/fa) | +... -H/(«)-/(«»-OI<A

et par suite, | f(a) | < A + | f(ao) \ '■> si a; est un point quelconque de l'intervalle (a0, a), la fonction est à variation bornée dans l'intervalle (a0, x) et l'on a aussi

toute fonction à variation bornée dans un intervalle est bornée dans cet intervalle.

Une fonction qui est non-décroissante, clans l'intervalle (a0. a , ou non-croissante (n° 163), est à variation bornée; en effet toutes les sommes 2 sont égales à y (a) — /(ao) dans le premier cas, à — [faj — /(ao)] dans le second.

Si la fonction f(x) est à variation bornée clans l'intervalle (a0,a\ l'ensemble des sommes 2 relatives aux diverses décompositions de