CHAPITRE VIII. SUR QUELQUES DEVELOPPEMENTS EX SERIE I2y
leur absolue, plus petit que tel nombre que l'on voudra : l'intégrale
, . sin mz , p (z) — .- — clz
a donc pour limite - © (4- o) quand m augmente indéfiniment (*). Supposons que la fonction © (z) dépende d'un paramètre x et écrivons-la © (x, z) ; supposons même que le nombre positif b dépende aussi de ce paramètre; si, pour chaque valeur de x appartenant à un intervalle (g, h), la fonction de z. © [x, z), satisfait aux conditions précédemment spécifiées, et qu'en outre b et tt — b ne soient jamais nuls, il est clair qu'on pourra écrire
pb
i , . sin mz i 7t , . r> / \
I ? (a-, z) -.— dz = - ç (ar, + o) -+- Rm (œ),
Rm (x) étant une quantité qui, pour chaque valeur de x appartenant à l'intervalle [g, h) tend vers o quand m augmente indéfiniment. De l'expression de Rm résulte en outre la conséquence suivante : si les valeurs de L et p qui correspondent aux diverses valeurs de x restent, tant que x apppartienl à l'intervalle (g, h), inférieures à des nombres fixes ; si les valeurs de b et de ~ — b restent supérieures à un nombre positif fixe ; si, en outre, la fonction © (x, z) tend uniformément vers sa limite © (x, -+ o) quand z
(') On a supposé dans ce qui précède m impair ; ce cas est le seul dont on aura besoin dans ce qui suit ; mais il convient de remarquer que la conclusion à laquelle on vient d'arriver ne suppose en aucune lagon cette restriction ; elle n'est intervenue dans ce qui précède que par l'égalité
J o sin z 2 '
on établira sans peine que lorsque m augmente indéfiniment par valeurs paires et positives, le premier membre de l'égalité précédente a pour limite -, ce qui suffit pour les déductions ultérieures.
La méthode qu'on a suivie dans ce paragraphe permet, en imposant les mêmes conditions à la fonction cp (j), d'établir l'égalité
lim- f d (z) sin mz * = - » (+ o). m= oo J o - 2 '
Kronecker a donné à l'intégrale qui figure dans le premier membre le nom d'intégrale de Dirichlet.
tend vers o par des valeurs positives, en sorte qu'à chaque nombre positifs corresponde un nombre positif y; tel que l'on ait
] o (x, z) — ce (x, H- o) | < e,
sous les conditions
la quantité R,n (x) convergera uniformément vers o pour les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle (g, h), c'est-à-dire qu'à chaque nombre positif s' correspondra un nombre entier positif m' tel que l'on ait
, , sin mz , 7r , .
ce [x, z) — . dz o (x, -(- o)
' v ' ' sin z 2 ' ^ ;
sous les conditions
Revenons maintenant à la question posée au n° 267 et notamment à la formule
,s„= /^..)"'II'^
,, . sin (2 7i -+- i)z , / Ï + 2Z ^-i '— dz.
Supposons que la fonction f(x) soit bornée et intégrable dans l'intervalle ( — tt, -+- n), que cet intervalle puisse être partagé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que, dans chacun d'eux, elle soit, ou bien non-croissante ou non-décroissante ; il en sera évi-
/ TT— 1— x\ I 77 X N
demment de même, relativement aux intervalles o, —
des fonctions de z, f(x — 22) elf(x -+- iz), en supposant que le nombre x appartienne à l'intervalle ( — 71, h- 7c) ; supposons d'abord que ce nombre ne soit égal ni à % ni à — tt ; les propositions précédemment démontrées relativement à l'intégrale
nb
l , . sin mz ,
o (.r, z) - .- - dz L sin z
