TC<A<B<TT

et satisfait en outre aux conditions précédemment imposées, la quantité Sn tendra uniformément vers sa limite f{x) pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à un intervalle quelconque (A', B') intérieur à l'intervalle (A, B).

Supposons maintenant que l'on ait x = — n, la formule (6) donnera

c C* fi \ sin mz j

ttS„ = /(— tt + 22) — . dz ;

Jo J ; smz

le second membre peut être remplacé par la somme de deux intégrales dont l'une ait pour limites o et -, l'autre - et ~; en faisant

dans cette dernière la substitution "z = % — ?, on trouve finalement

c, C2 r, \ sin mz , C2 r, \ sin mz , ■szSn = /(— it + 2z)-. dz -h fhz — sz)—. dz,

J0 Sln z Jo Sln Z

et par conséquent, en appliquant toujours le même théorème,

lim. S,

J(— TC + o)+/(TC — o).

si l'on supposait x = n, on trouverait la même limite.

Tannert II. — Introduction à la Théorie des fonctions

l3o INTRODUCTION A LA TIlÉOKIE DES FONCTIONS

En résumé :

Si /(a?) est une fonction bornée dans l'intervalle ( — tz, -+- tc), si cet intervalle peut être décomposé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction f(x) soit, ou bien non-croissante ou bien non-décroissante, la série

- a0 -+- (at cos x ■+■ bt sin x) -+- ... -h (an cos nx -h bn sin nx) -+-...

où l'on suppose

cq = - I f(x) cos ixdx (t = o, i, 3, ...),

&/ = ~ I f(cc)sinjxdx (;= i, 2, 3, ...),

sera convergente pour toutes les valeurs de a? qui appartiennent à l'intervalle ( — tz, -+- tt) ; pour une telle valeur, sa somme sera égale à

si # n'est égal ni à — ti, ni k -h tz ; dans ces deux derniers cas, la série es

/(— ir + o) +/(*— 0;

somme de la série est égale à

Si la fonction f(x), que l'on suppose toujours satisfaire aux conditions précédentes, est continue dans l'intervalle (A, B), en supposant

— it < A < B < *

et si A', B' désignent deux membres tels que l'on ait

la série sera uniformément convergente dans l'intervalle (A', B') et y représentera f(x) ; enfin si la fonction /(as) est continue dans tout l'intervalle ( — tz, -+- %) et si l'on a