CHAPiTRE VIII. ■ SUR QUELQUES DEVELOPPEMENTS E>" SERIE IOI

la série sera uniformément convergente dans ce même intervalle et y représentera y (a;).

Il est à peine utile de faire remarquer que la somme d'une série trigonométrique supposée convergente est une fonction périodique de x, en sorte que les valeurs de cette somme se déduisent, quel que soit x, des valeurs relatives à l'intervalle ( — n, H- n).

Les formules qui donnent les coefficients a,, bj montrent que si/(V) est une fonction impaire, tous les coefficients a sont nuls; au contraire s'if(x) est une fonction paire, tous les coefficients b sont nuls.

Le théorème précédent permet de construire des séries dont les sommes sont des fonctions continues ou disconstinues dans l'intervalle ( — n, H- zr), fonctions qui peuvent être définies dans des portions de cet intervalle par des lois algébriques différentes ; je me contenterai d'indiquer les résultats suivants.

La série

sin x sin ox sin bx sin (2» -h i) x

est convergente quel que soit x ; si x est compris entre o et tî, sa

somme est . ; cette somme est au contraire — j si x est compris

entre o et — tt ; elle est nulle si x est égal à o ou à tî. On a

x sin x sin ix sin 3.x-

pour x compris entre — tt et + ~ ; si l'on a x = ± ~, la somme de la série est nulle.