CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE l

par le système de ses coordonnées, mises entre parenthèses ('), soit par une seule lettre. U origine est le point (o, o). Deux points (oc, y),(x', y') sont confondus si l'on a x = x', y = y' , distincts dans lecas contraire. La distance de ces deux points est

v/fc - O2 + (y — y')"2 ■;

leur distance réduite est le plus grand des deux nombres |x — x'\, \y — y'\. La distance, réduite ou non, de deux points n'est nulle que si ces deux points sont confondus.

Le plan est l'ensemble de tous les points.

Une fi g lire est un ensemble de points. La figure (F) est égale à la figure F') si l'on peut établir entre les points de l'une et les points de l'autre une correspondance parfaite, telle que les coordonnées (x, y) et (x' , y') de deux points correspondants de la figure (F) et de la figure (F') soient liées par des relations de la forme

(i) x = p -+- x' cos ta — y' sin ta, y — q -+- x' sin co -+- y' cos ta,

où p, q. w restent les mêmes quels que soient les points correspondants. La distance de deux points de (F) est alors égale à la distance des deux points correspondants de (F') (2 .

Il est très aisé de reconnaître que, dans cette définition, les trois conditions imposées à toute définition de l'égalité sont vérifiées :

Une figure (F) est égale à elle-même. Si la figure (F7) est égale à la figure (F), (F) est égale à (F'). Si (F) est égale à (F') et (F') à (F"), (F) est égale à (F").

272. — Une droite est l'ensemble de tous les points (x, y) dont les coordonnées vérifient une même équation du premier degré Ax -+- B y -h C = o ; celle-ci est Y équation de la droite; il est sous-entendu que A, B ne sont pas nuls simultanément. Lorsque

B n'est pas nul, la pente de la droite est — ts ; lorsque B est nul,

(-1) La confusion entre le point (x, y) et Y intervalle (x, j) n'est guère à craindre. (2) Il eu serait de même si la correspondance était exprimée par les formules

x = p -f- x' cos w -\- y' sin w, y = q -\- x' sin w — y' cos u.

On pourrait dire alors que l'une des figures est égale à la figure symétrique de l'autre.

l34 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

on dit que la pente de la droite est infinie. Toutes les droites du plan sont des figures égales.

Un point est ou n'est pas sur une droite, celle-ci passe ou ne passe pas par ce point suivant que les coordonnées du point vérifient ou non l'équation de la droite. On reconnaît immédiatement, sur les équations de deux droites, si celles-ci ont un point commun (si elles se coupent), si elles n'ont aucun point commun (si elles sont parallèles), si elles sont confondues. Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles ou confondues.

Par deux points distincts on peut faire passer une droite et une seule.

Il est souvent commode de regarder une droite comme l'ensemble des points (x, y) que l'on obtient en donnant à / toutes les valeurs possibles dans les formules

x = a H- rA, y = b -h fit,

où a, b, a, j3 sont des coefficients dont les deux derniers ne sont pas nuls à la fois ; on désigne alors souvent un point de la droite par la valeur correspondante de / ; on dit « le point t » au lieu de dire « le point (x, y) ».

Si l'on considère deux points distincts /0, tv de cette droite, le segment de droite, borné à ces deux points t0, /,, est l'ensemble des points que l'on obtient en donnant à /, dans les formules précédentes, toutes les valeurs qui appartiennent à l'intervalle (J0, ty) ; tout point de ce segment, autre que les deux points t0, tit est dit entre ces deux points.

Le segment prend le nom de vecteur si l'on distingue l'ordre des deux points t0, t{ et si l'on regarde l'un de ces deux points comme le premier ou l'origine", l'autre comme le second (ou l'extrémité : pour exprimer que le point /0, par exemple, est l'origine et le point t{ l'extrémité, on dit que le vecteur va du point ta au point tx. Dans les mêmes conditions, on dit que le vecteur est décrit par le point t quand la variable t croit de t0 à /,, si l'on a t0 <C i^ décroît de t0 à /,, si l'on a /tl >> /,. Cette façon de parler, dont l'origine est dans l'idée de mouvement, n'implique rien de plus n° 172 qu'un certain ordre de succession attribué aux nombres de Intervalle t0, /, ou aux points du vecteur.