CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE l

Sur la droite indéfinie, il y a une infinité de vecteurs : les deux vecteurs qui vont l'un du point l0 au point ti, l'autre du point t2 au point /3, sont dits de même sens, ou de sens contraires, suivant que ti — l0 et t.^ — t2 sont, ou non, de mêmes signes.

Une légère difficulté relative aux définitions précédentes consiste en ce que les coordonnées des points d'une même droite pouvant, d'une infinité de façons, être mises sous la forme

(i) x = a + ad, y = b -+- $t,

on peut se demander si les définitions que l'on a adoptées ne dépendent pas de la façon que l'on a choisie pour représenter la droite. Cette difficulté est aisée à lever. On reconnaît en effet sans peine que, pour que les équations

(2) x = a1 -+- «Y, y = &M- PY

déterminent, quand t! varie, le même ensemble de points que les équations (1), il faut et il suffit qu'il existe deux nombres X, p., dont le premier n'est pas nul, et tels que l'on ait

a' = Xa, a1 = a -+■ a[J.,

p' = Xp, b' = b -4- 3k;

s'il existe de pareils nombres, les équations (1) et (2) définiront le même point quand les valeurs de t et de /' se correspondent de façon que l'on ait

t = lt' + fX.

Lorsque X est positif, / et t' croissent ensemble ; lorsque X est négatif / décroît lorsque t' croît ; dans tous les cas, si li — t0 et tz — t2 sont, ou non, de mêmes signes, il en sera de même pour t;— t0' et V — W, etc.

Quand on parle du sens, ou de la direction, d'une droite, c'est qu'on a fixé sur elle un vecteur, par exemple le vecteur qui va du point t0 au point £,. En disant alors d'un vecteur porté par la droite qu'il a, ou non, le sens choisi sur la droite, on entend simplement que le sens de ce vecteur est le même que le sens du vecteur qui va du point /0 au point /, ; on dit aussi, suivant que t0 est

l36 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

plus petit ou plus grand que tL, que le sens choisi sur la droite est celui dans lequel elle est parcourue quand t varie de — oo à -+- oo , ou de -h oo à — oo ; on peut aussi parler du sens qui correspond aux valeurs croissantes de /, ou aux valeurs décroissantes. On désigne sous le nom de demi droite ayant pour origine le point (a, b) et pour coejjîcients directeurs les nombres a, |5 l'ensemble des points que l'on obtient en donnant à /, dans les formules x = a ~i- al, y — b -\- fît, la valeur o et toutes les valeurs positives. Le point [x, y) décrit cette demi-droite quand / croît de o à -(- oo ; le sens de la demi-droite est le sens qui, sur la droite indéfinie, correspond aux valeurs croissantes de t. Les relations

a -h ut = a -h (— a) (— t), b + $t = b -+- (— rp) (— t)

montrent que l'ensemble des points obtenus en donnant à / des valeurs négatives ou nulles et, par conséquent, à — / des valeurs positives ou nulles, constitue une demi-droite ayant pour origine le point (a, 6) et pour coefficients directeurs les nombres — a, — fî. La direction est opposée à celle de la première demi-droite. L'ensemble des deux demi-droites est la droite indéfinie. L axe des x est la droite dont l'équation est y = o. La partie positive de cet axe est la demi-droite formée par les points dont l'abscisse est nulle ou positive. La direction positive de l'axe des x correspond aux x croissants. Des dénominations analogues s'emploient pour l'axe des y.

Les deux demi-droites (D), (D) définies par les équations

(D) x = a + ai, y = b + fit

(D') x = a1 -+- at, y — b' H- pi

et dont, ainsi, les coefficients directeurs sont les mêmes, sont parallèles ou confondues ; par définition, elles sont de même sens.

Par un point donné on peut mener une infinité de droites ; on peut en mener une, et une seule, parallèle à une direction donnée.

Les deux vecteurs qui vont respectivement du point (œQ, r0) au point (o54, y{) et du point (x'0, y0') au point ' x[, y[) sont parallèles si l'on a

xi — xo __ Ji Jo .

xi — x<> y* — ^o '