CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE l3y

ils sont de même sens, ou de sens contraires, suivant que ces rapports sont positifs ou négatifs ; ils sont équipollenls si les rapports sont égaux à i ; dans ce dernier cas, on voit tout de suite que les vecteurs qui vont l'un du point (x0, j0) au point (x'Q, y'0), l'autre du point (xlt y,) au point (x[, y[) sont aussi équipollents ; les deux premiers vecteurs et les deux seconds forment le contour d'un parallélogramme , sauf dans le cas où les quatre points sont en ligne droite.

La demi-droite (D), définie par les équations

x = a H- at, y = b -+- $t

où t ne doit prendre que des valeurs positives ou nulles, a la même direction que le vecteur qui va de l'origine au point (a, |S), ou au point (Xa, XjS) quand X est positif. Si le point (a, b) varie et si a, |3 restent les mêmes ou sont remplacés par des nombres proportionnels, le coefficient de proportionnalité étant positif, la direction de la demi-droite CD) reste la même. On peut ainsi, sans changer la direction d'une demi-droite, multiplier ses coefficients directeurs par un même facteur positif. Les quantités

cos œ = - , sin o = ' - = cos I

s'appellent les cosinus directeurs de la demi-droite (D), ou de la direction définie par cette demi-droite; lorsqu'on se donne a et |3, le nombre <p est déterminé par les équations précédentes, à un multiple près de in : si l'on pose r = t y/a2 -\- p2, les équations qui définissent (D) peuvent être remplacées par les suivantes

x = a +- r coso, y = b -+- f sin<?,

r est de même signe que t ; si r est positif, le point [x, y) est sur la demi droite (D) ; il est sur la demi-droite opposée si r est négatif; dans tous les cas, la valeur absolue de r est la distance du point [x, y) au point (a, b). Les quantités

— cos 9 = cos (cp 4- ■*), — sin © = sin (o H- it)

sont les cosinus directeurs de la direction opposée à (D).

Deux demi-droites parallèles à une troisième et de même direc tion que cette troisième, ou de direction opposée à celte troisième, ont la même direction.

l38 INTRODUCTION A LA. THEOKIE DES FONCTIONS

273. — La distance des deux points t' , f de la droite définie par les deux équations

x =ja -+- ja-4 f = è H-p^

est égale à \/a2 -h (32 | £' — 2" | ; on voit tout de suite que, si trois points 1! , t", t'" sont sur la droite et si le point t" est entre les deux points t' et f, la distance des deux points /', f est égale à la somme des distances des points t' , t" et t", t"'. Il en est de même pour les distances réduites, car la distance réduite des deux points t' , t" est j a | [ t' — l" \ ou 1 13 | \ t' — t" | suivant que le nombre \ a\ est plus grand ou plus petit que j.j3 | .

L'inégalité

\/{a + a')* + (&-+- 6')2 < Va2 -+- &2 + V^PP,

qui ne se transforme en égalité que si ab' — a'b est nul, permet de montrer que, si les trois points {xi, yx), (ac2., y2), (x3, j3) ne sont pas en ligne droite, la distance de deux quelconques d'entre eux est plus petite que la somme de leurs distances au troisième, et que la distance de deux de ces points ne peut être égale à la somme ou à la différence de leurs distances au troisième que si les trois points sont en ligne droite : elle est alors égale à la somme des distances au troisième si celui-ci est entre les deux premiers points ; autrement, elle est égale à leur différence.

Pour ce qui concerne les distances réduites, la proposition analogue peut s'énoncer ainsi :

La distance réduite de deux points est égale ou inférieure à la somme des dislances réduites de ces points à un troisième point.

274. — Deux droites, dont les coefficients directeurs sont respectivement a, |3 et a! , |3' sont perpendiculaires lorsqu'on a u/j! -H)/3j/3' = o. Les deux axes sont perpendiculaires. Par un point, on peut mener une perpendiculaire à une droite et une seule.

Le carré de la distance d'un point fixe à un point variable d'une droite fixe est une fonction du second degré de la variable qui détermine la position du point variable sur la droite; l'étude de la variation de celte fonction est très aisée ; la fonction est minimum quand le point variable coïncide avec le pied de la perpendiculaire