CHAPITRE IX

LANGAGE GEOMETRIQUE

menée du point fixe à la droite ; la valeur de ce minimum est la distance du point fixe à la droite. La même étude fournit les théorèmes classiques sur les longueurs des perpendiculaires et des obliques.

275. — Considérons une droite (D), et soit ax H- by -+- c = o son équation. Deux points fxr y,), (x2, y2) qui n'appartiennent pas à cette droite sont dits du même côté par rapport à celte droite, si les deux nombres axt ~t- 6jj -+- c, a%2 + 6y.; -h c sont de mêmes signes ; dans le cas contraire, les points sont de côtés différents par rapport à (D). Si les deux points sont d'un même côté, il en est de même de tous les points qui appartiennent au segment qui relie les deux points, segment qui ne rencontre pas (D). S'ils sont de côtés différents, il y a un point (xf, y') de (D) sur le segment qui les relie; tous les points du segment qui relie (x' , y') à (a?,, y,\ sauf le point (x1 , y'), sont d'un côté de la droite ; tous les points du segment qui relie (x1, y') à (x2, y2), sauf le point x' , y';, sont de l'autre côté. On dit alors de la droite (D) qu'elle est entre les deux points (x^ y,), (x,, y2).

On peut définir le côté droit et le côté gauche d'une droite (D; quand on a choisi une direction sur celte droite. Supposons que cette droite soit définie par les équations

x = a -+- oit, y — b -h (3/

et qu'on ait choisi sur cette droite le sens qui correspond à / croissant : soient (xcr, y^ et (x2, y.2) deux points de celte droite correspondant aux valeurs /,, t.2 du paramètre ; soit {x0, y0 un point en dehors de la droite, le déterminant

Jo

•ro Jo »

a -h ali b -+- p<, i

a H- at.2 b -\- $l2 i

« (JO — b) — P (/''O — «)] (*2

n'est pas nul ; son signe, qui détermine de quel côté de la droite (D) se trouve le point (x0, y0), ne dépend du choix des points /1; t2 que par le signe de t2 — ty ; supposons /2 > /,, en sorte que le sens du vecleur qui va du point t{ au point /2 soit le sens qui, sur

l4o INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

la droite (D), correspond, aux / croissants : on dira que le point :'x0, y0) est à gauche ou à droite de (D) suivant que le déterminant est positif ou négatif ; on dit, avec la même signification que le point .(x0, y0) est à gauche où à droite du vecteur qui va du point (a?!, y,) au point (a?2, j2), ou de la demi-droite qui, sur (D), a la direction de ce vecteur. Tout point pris sur la partie positive de l'axe des y est à gauche de la direction positive sur l'axe des x ; tout point pris sur la partie positive de l'axe des x est à droite de la direction positive sur l'axe des y. Etant donnés trois points A0, An A2 non en ligne droite, si A0 est à gauche du vecteur A,A2, le point Aj est à gauche du vecteur A.2k0 et le point A2 est à gauche du vecteur A0A,, etc.

Si l'on ccnsidère deux droites parallèles sur lesquelles on a choisi la même direction, ces deux droites partagent l'ensemble des points qui ne sont pas situés sur elles en trois ensembles, les points situés à gauche des deux droites, les points situés à droite des deux droites, les points situés à droite de l'une, à gauche de l'autre ; ces derniers sont dits entre les deux droites : tout segment qui joint deux points situés dans l'un de ces ensembles lui appartient tout entier. Les points situés entre les deux droites appartiennent à des segments dont les extrémités sont respectivement situées sur ces deux droites.

276. — Les points situés sur une droite (D), à laquelle on a attribué un sens, ne sont situés ni à droite ni à gauche de (D). Il est commode, dans un très grand nombre de cas, de pouvoir dire d'un point quelconque qu'il est à droite ou à gauche de (D) ; pour cela, on considère cette droite comme double, comme formée de deux droites parallèles, confondues en réalité, mais que l'on distingue par la pensée : on dit alors que cette droite constitue une coupure, dont les deux bords sont respectivement ces deux parallèles, l'une constituant le bord droit, l'autre le bord gauche : le bord droit est regardé comme faisant partie de l'ensemble des points qui sont à droite de la coupure (D), le bord gauche est regardé comme faisant partie de l'ensemble des points qui sont à gauche de D . Alors un point quelconque est, soit à droite, soit à gauche de D ; mais si ce point est sur (D), il ne suffit pas, pour le spécifier, de donner ses coordonnées ; il faut encore dire s'il appartient au bord