CHAPITRE IX. LANGAGE GÉOMÉTRIQUE l4l

gauche ou au bord droit de (D). Lorsqu'on a à figurer une droite à laquelle on donne cette signification de coupure, il est commode d'employer un schéma où les deux bords sont distincts.

277. — Considérons les deux demi-droites (D), (D') définies par les équations

(D) x = a 4- ut, y = b + (3<

où t, t! doivent prendre des valeurs nulles ou positives ; elles ont même origine ; supposons que ajS' — a']3 ne soit pas nul, c'est-àdire que les deux droites ne soient pas confondues.

La figure formée par ces deux demi-droites est ce qu'on appelle un angle. Le sommet de cet angle est le point (a, b) ; les deux demi-droites (D), (D') sont les côtés de cet angle.

La demi-droite D' est à gauche de la demi-droite (D) si a& — a'/3 est positif; elle est à droite si ajS' — a'|S est négatif. Lorsqu'on attribue un ordre aux deux côtés, on dit que l'angle est orienté et qu'il a la disposition directe si le second côté est à gauche du premier, la disposition indirecte si le second côté est à droite du premier. L'angle dont le premier côté est la partie positive de l'axe des x, dont le second côté est la partie positive de l'axe des y a la disposition directe.

Puisque ajS' — a']S n'est pas nul, les équations

a; = fl + d + ol'I1, y = b -+- $t -+- (3Y

peuvent être résolues par rapport à /, t' ; ces formules établissent une correspondance parfaite entre les systèmes [x, y) et les systèmes (/, t1). L'ensemble des points (x, y) que l'on obtient en donnant à /, /' des valeurs positives (non nulles) constitue ce qu'on appelle l'intérieur de l'angle ; Y extérieur est l'ensemble des autres points, en exceptant toutefois ceux qui appartiennent aux côtés de l'angle. Si l'on regarde (D) comme le premier côté de l'angle, (D') comme le second, et si la disposition est directe, tous les points situés à l'intérieur de l'angle sont à gauche de (D), à droite de (D'); réciproquement, tout point qui est à gauche de (D), à droite de (D'), est alors à l'intérieur de l'angle. Ce serait l'inverse si la

disposition de l'angle était indirecte. Si deux points sont à l'intérieur d'un angle, il en est de même de tous les points du segment qui les relie. Tous les points dune demi-droite ayant son origine sur l'un des côtés d'un angle, parallèle à l'autre côté et de même sens, sont intérieurs à l'angle, sauf l'origine de cette demi-droite. Tous les points situés entre les deux extrémités d'un segment qui relie deux points des deux côtés d'un angle sont intérieurs à cet angle et tous les points intérieurs à l'angle peuvent être obtenus de cette façon.

Les droites indéfinies (A), (A') sur lesquelles sont situées les demi-droites (D;, (D') forment quatre angles; en désignant par (DJ, (D,') les demi-droites opposées à (D), (D'), ces angles ont pour côtés (D) et (D'), (D') et (D,), (Dt) et (D,'), (D[) et (D). Chacun de ces angles est adjacent au suivant et au précédent ; le troisième est opposé par le sommet au premier; de même le second est opposé par le sommet au quatrième. Tout point qui n'appartient pas aux droites (A), (A') est intérieur à l'un des quatre angles et à un seul. On voit sans peine, pour chacun de ces angles, de quel côté, par rapport aux directions (D), (D'), sont les points intérieurs. Deux angles opposés par le sommet ont la même disposition en supposant qu'on regarde comme premier côté de l'un des angles la direction opposée au premier côté de l'autre.

On a \x\ plus haut comment la considération d'un angle défini par les deux demi-droites (D), (D') permettait de décomposer le plan en deux régions, l'une intérieure à l'angle, l'autre extérieure. En supposant que ( D) soit le premier côté et (D') le second côté de l'angle, il est parfois commode de pouvoir désigner l'une de ces région comme étant à gauche, l'autre comme étant à droite de l'angle, cet angle étant regardé comme la figure formée par les deux demi-droites. En supposant que l'angle ait la disposition directe, les points intérieurs sont dits à droite de l'angle et les points extérieurs à gauche ; c'est le contraire si la disposition est inverse. Pour accorder cette définition avec l'intuition, on doit regarder le premier côté comme ayant, non la direction (D) définie par les deux coefficients directeurs a, |3, mais la direction opposée ; en employant le langage cinématique qui, comme on l'a déjà dit, n'implique pas autre chose qu'un ordre de succession attribué aux points de la figure formée par la réunion des deux, demi-droites