CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE i/jS

(D), (D'), on regardera le premier côté comme parcouru par un mobile dont les coordonnées successives s'obtiennent en faisant décroître t de H- oo à o; au contraire, pour le second côté, les coordonnées s'obtiendront en faisant croître / de o à -+- co .

Dans ces conditions, si la disposition de l'angle est directe, les points intérieurs à l'angle sont effectivement à droite des deux côtés. Quant aux points extérieurs, ceux qui sont dans les angles adjacents à l'angle donné sont à gauche des deux côtés ; bien que les points situés dans l'angle opposé par le sommet soient à droite des deux côtés, on les regarde comme étant à gauche de l'angle.

278. — Considérons deux angles orientés (A), (A/) dont le premier et le second côté sont respectivement définis par les formules

x = a -h r cos --s, y = è -f- r sîn <?, x = a -h r cos <l>, y = h -f- r sin &>,

pour le premier angle, par les formules

x' =a! -h r' cos cp', y' = b' -h r' sin o', x' = a! + r'cosi]/, /= b' -f- r' sin <]/,

pour le second ; on a vu plus haut comment les équations qui déterminent les côtés peuvent toujours être ramenées à cette forme. Les deux figures (A) et (A') seront égales si l'on peut établir entre les points des côtés une correspondance du type précisé au n° 271 et telle que les premiers côtés des deux angles se correspondent, ainsi que les seconds côtés; les sommets se correspondent nécessairement; écrivons que les deux premiers côtés se correspondent point par point ; puisque la distance de deux points doit être égale à la distance de deux points correspondants, il faut évidemment que l'on ait, pour de tels points, r =■ r' . Les égalités

a -\- r cos cp = p -+- (a' -+- r cos a/) cos w — (b' + r sin ^') sin w, a -+- r sin o = q -+- (a' -h r cos cp') sin w -+- (6' H- r sin cp') cos w?

qui doivent être des identités en r, exigent que les nombres © et cp' -+- « diffèrent seulement d'un multiple de 2 tc\ il doit en être de même des nombres d» et d/ -h «, comme on le voit en considérant les seconds côtés ; ceci exige qu'il en soit de même des

l/l4 INTRODUCTION A LA THEOR'.E DES FONCTIONS

nombres ^ — y et d' — <p'; si cette dernière condition est vérifiée, on pourra prendre pour m le nombre <p — ©' ou d — <]/, et il est aisé de constater qu'on peut alors déterminer les constantes p, q de manière à réaliser la correspondance qui assure l'égalité des deux figures (A), (A'). La condition

<y — q' = <b — co (mod. si)

qui s'énonce <]/ — <p' congru à d1 — œ suivant le module 2 tt et qui signifie que les deux membres séparés par le signe = ne diffèrent que d'un multiple de in, est clone la condition nécessaire et suffisante pour que les deux figures (A), (A') soient égales, au sens qu'on vient de préciser. Le nombre d — <p, dont l'importance est manifeste, ou ce nombre augmenté d'un multiple de 2 tc, est la mesure de l'angle (A) ; lorsqu'il n'y a pas de confusion à craindre, on dit souvent que l'angle (A) est égal à d — <p.

Ces définitions s'appliquent lors même que l'angle (A) n'existe pas à proprement parler, c'est-à-dire lorsque la quantité

cos <p sin <\i — sin a cos ty = sin (<]; — o)

est nulle, ou que d — ç est un multiple de tz ; lorsque d — o est un multiple de 2tt, les deux côtés de l'angle sont confondus, on dit souvent que l'angle est nul ; tous les points, sauf ceux qui sont sur les côtés, sont extérieurs à l'angle ; lorsque d» ■ — o est un multiple impair de %, les deux côtés de l'angle sont clans le prolongement l'un de l'autre : il importe de remarquer que les mots intérieur ou extérieur de l'angle n'ont plus de sens dans ce dernier cas. Celle des valeurs ded — © -+- 2 mi (n entier) qui est la plus petite en valeur absolue, est la valeur principale (de la mesure) de l'angle ; ceci n'a de sens que si d — <p n'est pas un multiple impair de n ; la valeur principale d'un angle est positive ou négative suivant que l'angle a, ou non, la diposition directe.

L'angle de deux directions quelconques (D), (D') est, par définition l'angle de deux demi-droites ayant pour origine un point quelconque et respectivement paralèlles aux deux directions données ; je représenterai souvent cet angle, ou sa mesure, par le symbole D, D') en supposant que D soit la première direction, et (D') la seconde. Si(D), (D';, (D") sont trois directions quelconques,