CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE

on a

(D, D') -h (D', D) = o (mod. 2k),

(D, D') 4- (D', D") + (D", D = o) (mod. ait), (D, D") = (D, D') -+- (D', D") (mod. ait).

En conservant les notations antérieures, les directions (D), (D') seront parallèles ou confondues si <l> — © est un multiple de te ; de même sens, si d» — © est un multiple pair de te, opposées si <b — © est un multiple impair de te. Les deux directions sont perpendiculaires si la mesure de leur angle est un multiple impair

de""

On a

en désignant par X et Y les directions positives sur l'axe des x et sur l'axe des y.

Les formules

x = a -+- r cos <?, y = b -j- r sin <p, r > o

quand on attribue une valeur déterminée à ©, définissent une demi-droite dont l'origine est (a, 6).

Cette demi-droite varie avec © ; si o croît ou décroît, de a à fi, on dit que la demi-droite tourne autour du point (a, b) de la position initiale, correspondant à la valeur <p .= a, à la position finale, correspondant à la valeur © = fi ; dans le sens direct si Ton a a. << fi, dans le sens indirect si l'on a a >■ fi ; dans les deux cas, on dit qu'elle a tourné de l'angle fi — a ; le lecteur ne doit pas oublier, d'une part, que cette façon de parler n'implique rien autre chose (n° 172) qu'un ordre attribué aux valeurs de © et aux positions correspondantes de la demi-droite et, d'autre part, qu'elle appelle l'attention non seulement sur les positions extrêmes (initiale et finale) de la demi-droite, mais aussi sur les positions intermédiaires. Lorsque fi — a est, en valeur absolue, moindre que n, l'angle dont a tourné la demi-droite n'est autre chose que la valeur principale de l'angle dont les deux côtés sont la position initiale et la position finale de la demi-droite. Dans ce cas, toutes les positions intermédiaires sont intérieures à cet angle et toute position

Tannebt II. — Introduction à la Théorie des fonctions 10

l46 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

de la demi-droite intérieure à l'angle correspond à une valeur de <p comprise entre a et |3. Lorsque jS — a est égal à 7r ou à — tt, on dit que la demi-droite a décrit un demi-plan ; les deux positions extrêmes sont opposées. Lorsque |3 — a est égal à 2 7T ou — 2 n, on dit que la demi-droite a décrit tout le plan ; sa position finale coïncide alors avec sa position initiale.

Considérons un angle orienté dont les deux côtés (D), (D') sont des demi-droites ayant leur origine au point (a, b), et dont je désignerai la valeur principale par co. Si l'on imagine que la demidroite mobile coïncide d'abord avec (D), elle peut tourner autour de (a, b) de manière à décrire l'intérieur de l'angle ; elle tournera de droite à gauche ou de gauche à droite, suivant que ta sera positif ou négatif; quand elle a tourné de l'angle ta, elle a décrit l'intérieur de l'angle ; elle coïncide avec (D'). Si elle continue de tourner dans le même sens, elle décrira l'extérieur de l'angle ; pour le décrire tout entier, elle doit, à partir de la position (D'), tourner d'un angle égal à 2 t: — w si ta est positif, à — 2 77 — w, si dd est négatif; elle a alors tourné, à partir de (D), d'un angle égal à 2 n, ou à — 2 71, suivant les cas ; elle est revenue à la position initiale. Le lecteur continuera sans peine ; il reprendra les choses, s'il veut, en supposant que la demi-droite tourne d'abord, à partir de 'D), de manière à décrire l'extérieur de l'angle (D, D') ; il constatera que, dans tous les cas, toutes les fois que la demi-droite mobile coïncide :a^ec D' , elle a tourné, à partir de (D) d'un angle égal à 2 11% -+- m, n étant un entier.

Considérons une suite de nombres

a, a,, a2, ..., sfc 4„ |3

rangés par ordre de grandeur croissante si p est plus grand que a, décroissante si |3 est plus petit que a, tels, en outre que la différence entre deux nombres consécutifs soit moindre que n en valeur absolue.

A cette suite de nombres correspond une suite de positions (D , (D,), (Da)« ... delà demi-droile mobile, une suite d'angles D, D, . (Df, D2), ... ; la somme des valeurs principales de ces angles est l'angle dont la demi-droite doit tourner pour passer de la position initiale à la position finale, ainsi qu'il résulte de l'identité

P — « = (*i — *) H- («a — *,) + ■•• + (? — Rn-0-