CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE ïk

Considérons une demi-droite fixe (A) ayant son origine au point (a, b) et deux demi-droites quelconques (D), (D') ayant leur origine au même point (a, b) et dont aucune ne coïncide avec (A). La demi-droite (A) peut servir à délinir, sans ambiguïté, et d'une façon qui est souvent commode, l'une des mesures de l'angle CD, D'). On imagine une demi-droite mobile coïncidant d'abord avec (D), tournant autour de (a, 6) de manière à coïncider avec (D') sans passer par la position (A) ; elle aura décrit l'intérieur de l'angle (D, D') si (A) est extérieur à cet angle, l'extérieur de l'angle (D, D'), si (A) est intérieur à cet angle. Dans tous les cas, on choisit pour la mesure de l'angle (D, D'j l'angle dont la demi, droite a tourné.

En particulier, quand on prend pour la demi-droite (A), la direction négative sur l'axe des x, l'angle, défini comme on vient de le faire, de la direction positive sur le même axe et d'une direction quelconque n'est autre chose que la valeur principale de l'angle de ces deux directions.

279. — Un cercle dont le centre est le point (x0, y0) et dont le rayon est le nombre positif r est l'ensemble (le lieu) des points dont la distance au centre (x0> j0) est r ; c'est donc l'ensemble des points dont les coordonnées x, y vérifient l'équation

(x — xoy + (y — y0)2 = r2 ;

ces points sont sur le cercle, qui passe par chacun d'eux. L'ensemble des points dont la distance au centre est moindre que r constitue l'intérieur du cercle ; je dirai de tous ces points et des points situés sur le cercle qu'ils appartiennent au cercle : l'ensemble des points dont la distance au centre est plus grande que r constitue l'extérieur du cercle. Sur le segment qui joint un point intérieur au cercle à un point extérieur, entre les deux extrémités, il y a un point du cercle et un seul. Le segment qui joint deux points intérieurs au cercle est tout entier intérieur au cercle. Sur chaque demi- droite qui a son origine à l'intérieur du cercle il y a un point du cercle et un seul. Les théorèmes classiques sur l'intersection d'une droite indéfinie et d'un cercle, sur l'intersection mutuelle de deux cercles, et sur les positions relatives de deux cercles s'établissent sans aucune difficulté.

l48 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

Deux cercles dont les rayons sont égaux sont des figures égales. Tous les points situés sur le cercle de rayon r et de centre (x0, y0 > s'obtiennent en attribuant à la variable u, dans les formules

(1) x = x0 -+- r cos co, y = y0 -h rsin w,

toutes les valeurs qui appartiennent à un intervalle dont l'écart est 2 7r ; les valeurs extrêmes donnent le même point ; les autres points ne sont obtenus qu'une fois. Si l'on fait varier &> dans un intervalle d'écart moindre, on obtient un arc de cercle.

Si, dans les mêmes formules, on regarde w comme une variable qui doit appartenir à un intervalle d'écart égal à 2 n et r comme une variable qui doit appartenir à l'intervalle (0, R), l'ensemble des points distincts ainsi obtenus sera l'ensemble des points qui appartiennent au cercle de centre [x0, y0) et de rayon R. Cet ensemble comprend les points intérieurs au cercle et les points situés sur le cercle.

280. — L'ensemble des points dont la distance réduite à un point fixe (x0, y0) est égale à un nombre positif donné r constitue un carré (ou, si l'on veut, le contour d'un carré) dont les côtés sont des segments parallèles aux axes et ont pour longueur 2 r. ; l'ensemble des points dont la distance réduite au centre (x0, y(l) du carré est moindre que r constitue ['intérieur du carré ; je dirai des points intérieurs au carré et situés sur le carré qu'ils appartiennent au carré ; l'ensemble des points dont la distance réduite au centre (x0, y0) du carré est plus grande que r constitue l'extérieur du carré. Le lecteur énoncera sans peine des propositions pareilles à celles qu'on vient de rappeler pour le cercle.

Plus généralement, on dit des points dont les abscisses appartiennent à l'intervalle (a, a') et les ordonnées à l'intervalle b b' , qu'ils appartiennent à un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes ('), et dont les sommets sont les points a, b , fa', b , (a', b'), (a, b1"). Les points qui sont sur le rectangle (sur le contour sont ceux des points précédemment définis dont l'abscisse est é°-ale

(') Dans ce numéro et ceux qui le suivent immédiatement, il ne sera question que de tels rectangles ; aussi je supprimerai le plus souvent les mots « dont les côtés sont parallèles aux axes ».