CHAPITRE IY. LANGAGE GEOMETRIQUE

soit à a, soit à a', ou dont l'ordonnée est égale soit à b, soit à b' : leur ensemble constitue les quatre côtés du rectangle. Les points qui appartiennent au rectangle sans être sur le rectangle sont à Y intérieur du rectangle. Le segment de droite qui joint deux points intérieurs au rectangle est tout entier intérieur à ce rectangle. Les points qui n'appartiennent pas au rectangle lui sont extérieurs. Les dimensions du rectangle sont les nombres \a — a' \, \b — b' \. L'aire d'un rectangle est le produit de ses dimensions. La distance réduite de deux points intérieurs est moindre que la plus grande des dimensions.

J'appellerai premier sommet du rectangle le sommet qui a la plus petite abscisse et la plus petite ordonnée, troisième sommet celui qui a îa plus grande abscisse et la plus grande ordonnée ; le second sommet a même ordonnée que le premier, le quatrième sommet a même abscisse que le premier. Un rectangle est déterminé quand on donne son premier et son troisième sommet.

Si l'on a fl < a', b << b', le premier, le second, le troisième, le quatrième sommet sont les points (a, 6), (a', 6), (a', b'), (a, b' .

La distance de deux points appartenant à un rectangle est au

plus égale à la distance du premier et du troisième sommet, ou à

[/h2 -h k2, en désignant par h et k les dimensions du rectangle.

Le point I , ) est le centre du rectangle.

281. ■ — -Si deux rectangles (R), (R') sont tels que tous les points qui appartiennent au second appartiennent au premier, je dirai que le premier contient le second. En désignant par {ai, a[\ (bL, 6,') les intervalles auxquels doivent appartenir respectivement les abscisses et les ordonnées des points qui appartiennent au second rectangle (R,), et en supposant a <; a! , b < b' , a, ■< a[, b\ << b[, dire que (R) contient (R,) revient à dire que l'on a a < a{ •< a[ < a' , è^è1<61'<6'.

Considérons deux systèmes de nombres

«,, a.2. ..., an)i,

&i, b.2 bp+l

tels que l'on ait

ai < aî < ■•• < ««+i> L'l <b2< ... < bp+1 ;

le rectangle (R) dont le premier et le troisième sommet sont les points (a{, b^), («■+*, 6*4-1) contient chacun des np rectangles (Ri,;j (i=.i, 2, ... n ; j = i.. 2, ... p) dont le premier et le troisième sommet sont les points (a», &/), V/i+i, fej.-H.)- Réciproquement chaque point du rectangle (R) appartient à un au moins des rectangles (Ri,,/) ; s'il est intérieur à l'un de ces rectangles, il n'appartient qu'à lui. On peut décomposer de cette façon en np rectangles tout rectangle (R) dont les côtés sont parallèles aux axes. L'aire du rectangle (R) est la somme des aires des rectangles (Ri,/).

Considérons deux suites de nombres, indéfinies dans les deux sens,

... a n l, a n, ..., a i, a0, al7 ..., a/n, otn-fi» ■■•■> ... 6„i} »„, ..., h i, b0, &j, ..., bn, bnJri, ...,

telles que, pour l'une et l'autre suite, les termes aillent en croissant avec l'indice et que l'on ait

lim. a„ = -h co , lim. a n = — ■ co ,

n = co n = co

lim. 6„ = 4- co , lim. b n = — co ;

n = co n = co

les parallèles aux axes dont les équations sont de la forme x = a,, d'une part, y = bj, de l'autre, en désignant par i, j des entiers quelconques, partagent le plan en bandes indéfinies ; une de ces bandes est, par exemple, l'ensemble des points dont les abscisses appartiennent à l'intervalle (a;,, cu^-i) ; une autre est l'ensemble des points dont les ordonnées appartiennent à l'intervalle (bj, bj+*).

L'ensemble des droites x = ai, y = bj détermine ce que j'appellerai un quadrillage du plan ; le plan se trouve décomposé en rectangles tels que le rectangle dont le premier et le troisième sommet sont les points respectifs (ai, bi), (ai+i, 6/4-1). Un point quelconque du plan appartient à l'un de ces rectangles au moins ; il peut appartenir à un seul, à deux ou à quatre.