II. — SUITES; ENSEMBLES; LIENS; FONCTIONS

282. — Nous aurons à considérer des suites et des ensembles de points;1). Un très grand nombre de définitions et de propositions relatives aux suites et aux ensembles de nombres ou de points suc un axe) s'étendent immédiatement aux suites et aux ensembles de couples des deux nombres ; ou de points dans le plan ! : je résume ci-dessous les principales : lorsqu'il n'y aura pas d'explications, c'est qu'elles sont inutiles ou que celles qu'on a données au chapitre III suffisent. On a toutefois à remplacer les différences entre les nombres par des distances entre les points ; on considérera, suivant que cela est plus commode, des distances réduites ou des distances vraies; remarquons d'ailleurs, une fois pour toutes, que lorsqu'on dit que la distance de deux points tend vers o ou croit indéfiniment, il n'importe pas que la distance soit réduite ou non, puisque le rapport de l'une à l'autre appartient à l'intervalle

Considérons une suite de points xn, yn) ■ n = i, 2, ..., x : on dit que le point (xn, Jn), admet, pour n infini, le point a, h comme limite, lorsque la distance des deux points \Xn, V, a, h a pour limite o quand n augmente indéfiniment. Il faut et il suffit pour cela que l'on ait

lim. xn 3=2 a , lira. yn = b.

(') Le mot point est pris ici dans le sens du n° 271 : c'est un système de deux nombres ; le langage adopté dans le premier Volume peut prêter à quelques confusions, qu'il suffit de signaler au lecteur pour qu'il n'y tombe pas : jusqu'au présent chapitre, le mot point a été en effet systématiquement confondu avec le mot nombre ; c'est ainsi qu'on a dit un point d'accumulation d'un ensemble de nombres ; alors un point était un seul nombre : c'est, maintenant, un système de deux nombres : au point de vue géométrique on peut dire qu'il s'agissait alors de points sur un axe et qu'il s'agit maintenant de points dans le plan. Quand il s'agira d'ensembles tels que ceux qu'on a principalement considérés jusqu'ici, dont chaque élément est un nombre, et lorsque quelque confusion sera à craindre, je dirai élément d'accumulation au lieu de point d'accumulation ; ce dernier terme sera, au contraire, employé pour les ensembles de points, tels que je les considère actuellement.

l52 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

On dit qu'un ensemble (E) de points est borné quand les abscisses et les ordonnées de ses points sont moindres en valeur absolue qu'un nombre positif P ; il est clair que les points de l'ensemble sont intérieurs au carré dont les sommets sont les points (±P,±P) ; au reste l'ensemble des abscisses des points de (E) admet dans ce cas une borne inférieure a, et une borne supérieure a' ; de même l'ensemble des ordonnées des points de (E) admet une borne inférieure 6 et une borne supérieure b' ; tous les points de l'ensemble (E) appartiennent au rectangle donc le premier et le troisième sommet sont les points (a, b) (a!, b') : ce rectangle se réduirait à un segment de droite si l'on avait a = a', ou 6 = 6', à savoir, dans le premier cas, au segment dont les extrémités seraient les points (a, b , (a, b') ; cette circonstance, comme il est aisé de le voir, ne peut se présenter que dans le cas où tous les points de (E) appartiendraient à ce segment. Les notions de bornes supérieure et inférieure ne s'étendent pas aux ensembles de points tels que nous les considérons actuellement.

L'écart d'un ensemble borné de points est la borne supérieure de l'ensemble des distances de deux points de cet ensemble.

On appelle point d'accumulation d'un ensemble infini (E) de points un point A tel que, quelque petit que soit le nombre positif s, il y ait une infinité de points appartenant à E) dont la distance (réduite ou non) au point A soit moindre que s. Le point A peut d'ailleurs appartenir on non à (E). Si A n'est pas un point d'accumulation de (E), on peut regarder ce point comme le centre d'un cercle, ou d'un carré, auquel n'appartiennent aucun point de (E) sauf A lui-même, si A appartient à E : dans ce dernier cas, A est un point isolé de l'ensemble.

Si un ensemble (E) de points est borné et s'il comprend une infinité de points, il admet au moins un point d'accumulation.

Soient en effet (A) l'ensemble des abscisses et (B) l'ensemble des ordonnées des points de (E). Ces deux ensembles sont bornés. A chaque élément a de (À) correspondent les points de (E), en nombre fini ou infini, dont l'abscisse est a ; je dirai que les ordonnées de ces points sont les éléments de (B) qui correspondent à a et j'en désignerai l'ensemble, fini ou infini, par (B„ .

S'il y a dans (A) un élément a auquel correspondent une infinité de points de (E), et, par conséquent, un ensemble infini l>„ ,