CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE IOO

ce dernier ensemble admettra un élément d'accumulation 6, et le point (a, b) sera un point d'accumulation de (E). Cette circonstance se produira certainement si (A) est fini : car s'il n'y avait, dans (À), que p nombres distincts, et si à chacun de ces nombres ne correspondaient, dans (B) qu'un nombre fini d'éléments, au plus égal à q, il y aurait, au plus, pq points dans (E).

Si, maintenant, l'ensemble (A) est infini, soit a un de ses éléments d'accumulation ; quelque petit que soit le nombre positifs, il y aura une infinité de points de (E) dont les abscisses, distinctes de ai, appartiendront à l'intervalle (a. — s, a -+- s) ; soient E (s) l'ensemble de ces points, B (s) l'ensemble de leurs ordonnées; si l'on a s" > s', il est clair que E (s") contiendra E c' , c'est-à-dire que tout point de E (s') sera un point de E (s"), que B (s") contiendra B (s') ; donc (n° 156), il y aura au moins un nombre 5 qui appartiendra à tous les ensembles B (s), ou qui sera pour chacun d'eux un élément d'accumulation. Dans les deux cas, le point (a, |3) sera un point d'accumulation de (E) : dans le premier cas, parce qu'il y aura dans (E), quelque petit que soit le nombre s, au moins un point d'ordonnée |3 dont l'abscisse, .autre que a, appartiendra à l'intervalle (a — s, a H- s) ; dans le second cas, parce que, quelque petits que soient les nombres positifs z, r, il y aura dans (E) au moins un point, dont l'abscisse, autre que a, appartiendra à l'intervalle (a — s, a -h s) et l'ordonnée à l'intervalle (|3 — r,, (j H- r, .

Il y a lieu de remarquer que, par la démonstration précédente, se trouve établie la proposition que voici :

Soient (E) un ensemble de points, infini et borné, et D une droite parallèle à l'axe des y : si l'on sait que, quelque petit que soit le nombre positif s, il y a une infinité de points dans (E) qui sont à une distance de (D), inférieure à s, on peut affirmer qu'il y a, sur la droite (D), un point d'accumulation de (E). Le lecteur n'aura aucune peine à reconnaître que la proposition subsiste lors même que la droite (D) n'est pas parallèle à l'un des axes de coordonnées.

L'ensemble des points d'accumulation d'un ensemble (E) est l'ensemble dérivé (E') de (E).

Un ensemble infini borné est dit clos, fermé, ou complet s'il contient tous ses points d'accumulation.

L'ensemble dérivé d'un ensemble borné est clos, ou ne contient qu'un nombre fini de points.

Un ensemble clos est parfait s'il coïncide avec son dérivé.

Si l'ensemble (E) contient l'ensemble (Ei), l'ensemble dérivé ('E') de (E) contiendra l'ensemble dérivé ÇE't) de (En).

L'ensemble des points qui appartiennent à un rectangle (ou à un cercle) est clos. L'ensemble des points intérieurs à un rectangle (ou à un cercle) n'est pas clos, puisque les points du contour (ou de la circonférence) sont des points d'accumulation et n'appartiennent pas à l'ensemble.

283. — La proposition du n° 156 se généralise aussi immédiatement.

Désignons par (P) un ensemble de nombres posilifs dont o soit un élément d'accumulation, qui n'appartient d'ailleurs pas à (P). Regardons les nombres qui constituent (P) comme des valeurs attribuées à la variable s.

Soit E(s) un ensemble de points, déterminé pour chaque valeur de s appartenant à (P). Je suppose essentiellement, sur l'ensemble E(z), qu'il existe, c'est-à-dire qu'il contient des points, en nombre fini ou infini, pour chaque valeur £ de(P;. Je suppose en outie qu'il satisfasse aux deux conditions suivantes.

i° Si s' et s" appartiennent à (P) et si l'on a s' > s", l'ensemble E(z') contient l'ensemble E{i).

2° L'ensemble E[z) est borné, quelque soit le nombre £ appartenant à (P).

Sous ces conditions, je dis qu'il existe au moins un point k qui appartient à tous les ensembles E(z) ou qui, pour chacun de ces ensembles, est un point d'accumulation.

Soient, en effet, A(e) et B(s) l'ensemble des abscisses et l'ensemble des ordonnées des points de E(s). A chaque élément a de A (s) correspondent un ou plusieurs points de &(£), qui ont pour abscisse a; à chaque élément a de A (s) correspondent par conséséquent un ou plusieurs éléments de B(s), à savoir les ordonnées de ces points de E(s) qui ont a pour abscisse.

On voit tout de suite, par le théorème du n° 156, qu'il existe au moins un nombre x qui appartient à tous les ensembles A £ ou qui est, pour chacun d'eux, un élément d'accumulation.