CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE

Plaçons-nous dans le premier cas : x appartient à tous les ensembles A (s). Soit B (s) l'ensemble des ordonnées des points de E 's) dont l'abscisse est x ; B' (z) est borné ; il existe, quelque soit le nombre £ appartenant à P ; B' (Y) contient B' (s") si l'on a s' >> s.". Il y a donc (n° 156) un nombre rt qui appartient à tous les ensembles B'(s) ou qui est, pour chacun de ces ensembles, un élément d'accumulation ; dans la première hypothèse, le point (x, Y}) appartient à tous les ensembles E(e) ; dans la seconde hypothèse, il est, pour chacun d'eux, un élément d'accumulation.

Plaçons-nous maintenant dans le second cas : x est pour chacun des ensembles A (s), un élément d'accumulation. Désignons par (D) le parallèle à l'axe des y dont l'équation est x = x. Dans chaque ensemble E(È) il y a une infinité de points dont la distance à D est moindre que tel nombre positif qu'on voudra, il y a donc sur D un ou plusieurs points d'accumulation de E ir Soit maintenant B'(s) l'ensemble des ordonnées de ces points d'accumulation : on voit comme tout à l'heure qu'il y a au moins un nombre •/] qui appartient à tout les ensembles B''(s) ou qui, pour chacun d'eux, est un élément d'accumulation. Dans les deux hypothèses le point (x, '/]) est un point d'accumulation pour tous les ensembles EU), puisqu'il y a, dans chacun de ces ensembles un point dont l'abscisse est aussi voisine qu'on veut de x et dont l'ordonnée est, ou yj, ou un nombre aussi voisin de 77 qu'on le veut.

L'ensemble E(o) des points k, dont on vient de démontrer l'existence, et qui appartiennent à tous les ensembles El ou sont des points d'accumulation pour tous ces ensembles, est clos, ou ne contient qu'un nombre fini de points.

Si k' est un point quelconque qui n'appartienne pas à l'ensemble E(ù), on peut fixer des nombres posiLifs s0, rl0 tels que dans le carré, ou le cercle, dont le centre est k' et dont le demi-côté, ou le rayon, est rl0 il n'y ait aucun point de l'ensemble E(s.) si l'on a

Si tous les ensembles E (s) sont clos, l'ensemble E[o) est contenu dans chacun de ces ensembles.

Si l'on considère une suite infinie de rectangles

(RO. (RJ, -., (R„). ».

tels que chacun d'eux contienne le précédent et que les dimensions

l56 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

de (R„) aient pour limite o quand n croît indéfiniment, le point (xn, yn), assujetti seulement à appartenir au rectangle Rn, a pour limite, quand n croît indéfiniment, un point (a, b) appartenant à tous les rectangles.

Les propositions et définitions contenues dans les numéros 80, 81,..., 86 s'étendent sans difficulté ainsi que les démonstrations.

284. — Soit (E) un ensemble de points ; supposons que, à chaque point de cet ensemble, corresponde un nombre que l'on regarde comme une valeur attribuée à une lettre/: on dit que/ est une fonction déterminée des deux variables (x, y) dans l'ensemble (E); on entend par là qu'à chaque système de valeurs de ces variables qui est un point de (E) correspond une valeur de/, que l'on désigne par f(x, y). Si l'on définit (ou si l'on donne) le mode de correspondance, en sorte que, pour chaque point fx, y) de l'ensemble on puisse calculer la valeur de/", la fonction est définie ou donnée) dans l'ensemble.

Une fonction de deux variables n'est donc autre chose qu'un mode de correspondance entre les éléments d'un ensemble E formé de couples de nombres, de points si l'on veut, et les éléments d'un ensemble (/) formé de nombres, à savoir les valeurs distinctes que prend la fonction pour les différents points de (E).

Au lieu d'employer deux lettres x, y pour désigner un point, rien n'empêche d'employer une seule lettre, z par exemple, et de donner au symbole /(z) exactement le même sens qu'au symbole f(x, y) ; on dira, si l'on veut, que/ est une fonction du point z; ceci permet de rapprocher les définitions, énoncés et démonstrations qui concernent les fonctions de deux variables des définitions, énoncés et démonstrations qui concernent les fonctions d'une seule variable, et que l'on a développés au Chapitre IV. Le langage employé dans ce chapitre se transporte à peu près textuellement dans la théorie qui nous occupe, à la condition, lorsque z et z' désignent deux points, de regarder le symbole \z — z' \ comme représentant la distance des deux points, réduite ou non suivant que l'on verra quelque commodité à adopter l'une ou l'autre (1).

(') Lorsqu'il sera question des variables imaginaires, ce symbole représentera exclusivement la dislance vraie, et non la distance réduite, des deux points z, :' .