CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE 10J

Parmi les propositions et définitions que j'ai en vue, je me contenterai de rappeler les suivantes, qui sont particulièrement importantes.

La fonction /(z), déterminée dans l'ensemble de points (E.), est dite bornée en haut, ou en bas, si l'ensemble des valeurs distinctes qu'elle prend pour les différents points de (E) est borné en haut ou en bas. Elle sera dite bornée (sans épithète, si elle est bornée en haut et en bas ; son écart dans l'ensemble (E) est alors la différence M — m entre sa borne supérieure M et sa borne inférieure m.

Lorsque a est un point d'accumulation de l'ensemble (E), de coordonnées a, fi, on dit que la fonction f(z) ou f(x, y) admet pour z = a la limite A et l'on écrit

lim. f(z) = A, ou \im. J (x, y) = A,

pour dire quy, quelque petit que soit le nombre positifs, il lui correspond un nombre positif •/} tel que l'on ait

l/(2)-A|<Eou|/(x,j)-A|<£

pour tous les points z, ou (x, y), qui appartiennent à l'ensemble

(E) et dont la distance au point a, ou (a, fi), est moindre que r,. Si le point d'accumulation a appartient à l'ensemble (E), et si

les conditions précédentes sont vérifiées, on dira que la fonction f(z) est continue en ce point.

Supposons que l'ensemble (E) soit clos et que la fonction f z soit continue en chacun des points d'accumulation de (E) : cette fonction jouira des propriétés que je vais énoncer en désignant par

(F) l'ensemble des valeurs distinctes qu'elle prend dans (E).

i° La fonction f[z) est bornée dans l'ensemble (E) ; en d'autres termes, l'ensemble (F) est borné.

2° La fonction f(z) atteint sa borne supérieure M et sa borne inférieure m ; en d'autres termes, il y a un point de l'ensemble (E) pour lequel on a f(z) = M, et un point pour lequel on a f(z) = m. Plus généralement, l'ensemble (F) est ou clos, ou composé d'un nombre fini d'éléments.

La fonction /(z) est uniformément continue dans l'ensemble (E), «'est-à-dire qu'à chaque nombre positifs, si petit qu'il soit, on peut

l58 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

faire correspondre un nombre yj tel que l'on ait \f(z) — f(z') \ <C £ sous la condition que les points z, z' appartiennent à l'ensemble (E) et que leur distance soit moindre que r, .

Lorsqu'on dit qu'une fonction f(x, y) est continue en un point x0, y0, sans parler de l'ensemble des points pour lesquels cette fonction est définie, on sous-entend que la fonction est définie non seulement en ce point, mais aux environs, c'est-à-dire, par exemple, pour l'ensemble des points appartenant à un rectangle de centre x0, y0 et dont les dimensions h, k sont d'ailleurs aussi petites qu'on le veut ; dès lors le point x0, j0 étant un point d'accumulation pour cet ensemble, la définition de la continuité s'applique.

285. — La distance d'un point fixe A aux différents points d'un ensemble clos (E) est une fonction continue dans cet ensemble ; la borne inférieure r de cette fonction est atteinte pour un certain point (au moins) de l'ensemble (E) ; elle est par définition la distance du point A à l'ensemble : elle n'est nulle que si A appartient à (E).

Le cercle décrit du point A comme centre avec le rayon r ne contient à son intérieur aucun point de (E) ; c'est le plus grand cercle possible, de centre A, qui jouisse de cette propriété. Il contient sur sa circonférence un ou plusieurs points de (E), dont la distance à A est égale à r.

La dislance du point A à (E) peut être regardée comme une fonction r(A) de ce point, définie pour tout point A; considérée de cette façon, /'(A) est une fonction continue en chaque point : cela résulte de ce que la différence r(A) — r(A') est au plus égale en valeur absolue à la distance A A' des deux points A, A' : car s'il en était autrement, l'un des deux cercles décrits respectivement des points A, A' comme centres, avec les rayons r(A), r A') serait intérieur à l'autre ; supposons que ce soit le premier ; on pourrait alors décrire du point A comme centre, avec un rayon plus grand que r(A), un cercle à l'intérieur duquel il n'y aurait aucun point de (E). '

Considérons deux ensembles clos (E), (E4). La distance d'un point de (E) à l'ensemble (Ej) est une fonction définie et continue dans E; ; elle atteint sa borne inférieure, qui est un nombre positif ou nul : si celte borne r} n'est pas nulle-, il n'y a pas de point de