CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE lb

CE y) à l'intérieur de n'importe quel cercle décrit d'un point de (E) comme centre avec un rayon égal à iï : les deux ensembles n'ont alors aucun point commun.

La borne r) est nulle ou positive suivant que les deux ensembles ont ou n'ont pas de point commun : la borne inférieure de la distance d'un point de (E) à (E,) est aussi la borne inférieure de la distance d'un point de (Ej) à (E) : elle est, par définition, la distance des deux ensembles (E), (Ex) ; c'est évidemment la borne inférieure de l'ensemble des distances d'un point de (E) et d'un point de (E,j : il suit de ce qu'on vient de dire qu'il y a un couple de points appartenant l'un à (E), l'autre à (E,) dont la distance est inférieure ou égale à la distance de deux points quelconques pris l'un dans (E), l'autre dans (E,). De même, il y a un couple de points appartenant respectivement à (E) et à (E,) dont la distance est supérieure ou égale à la distance de deux points quelconques, pris l'un dans (E), l'autre dans (E,). Si l'on considère un seul ensemble clos E , il y a dans cet ensemble deux points dont la distance est égale à l'écart de E (n° 282) .

Les notions, propositions et démonstrations qui précèdent subsistent évidemment quand on considère des distances réduites au lieu des distances vraies.

On n'a défini la distance d'un point A à un ensemble que pour un ensemble clos et, par conséquent, borné. Mais la définition s'étend à un ensemble E), môme non borné, qui contient ses points d'accumulation. Dans cet ensemble il existe toujours un point M tel que la distance du point A au point M soit inférieure ou égale à la distance du point A à n'importe quel point de l'ensemble et la distance du point A au point M est, par définition la distance du point A à l'ensemble (E). L'existence du point M s'aperçoit immédiatement en imaginant un cercle de centre A qui contienne quelque point de (E) : on reconnaît sans peine que l'ensemble des points de (E) qui appartiennent au cercle est fini ou clos, etc.

La distance d'un ensemble clos E à un ensemble non borné Ej , qui contient ses points d'accumulation se définit d'une façon analogue ; mais si les deux ensembles (E), (Ej), tout en contenant leurs points d'accumulation, ne sont bornés ni l'un, ni l'autre, on ne peut pas affirmer l'existence de deux points appartenant, l'un à E , l'autre à (Ej) tels que leur distance soit inférieure ou égale à la dis-

tance de deux points quelconques, pris l'un dans (E), l'autre dans

286. — Dans le présent numéro, je représenterai habituellement un point par une seule lettre et la distance de deux points P, Q par le symbole |P — Q| ou |Q — Pj.

Les fonctions de point, ou de deux variables x, y, dont j'ai parlé jusqu'ici étaient des fonctions numériques. Une généralisation toute naturelle consiste à considérer un point B comme fonction d'un point A ; cela revient à considérer à la fois deux fonctions des coordonnées x, y du point A, fonctions qui seraient les coordonnées du point B. On peut encore présenter les choses comme il suit :

Soit (Jb) un ensemble de points ; je réserverai la lettre majuscule A, affectée ou non d'indices ou d'accents, pour désigner les points de cet ensemble. Supposons qu'à chaque point A de (Jb") corresponde un point B, que j'appellerai Vimage du point A. J'emploierai la lettre B, affectée des mêmes marques que A pour désigner le point correspondant ainsi à A. Les points B, images des points de (Jb), forment un ensemble ($). En disant que le point B est une fonction ©(A) du point A, déterminée dans l'ensemble (Jb), on emploie un langage pareil à celui qu'on a expliqué au n° 148.

La fonction © (A) est dite bornée si l'ensemble (0j) est contenu dans un cercle ayant son centre à l'origine.

Soit a un point d'accumulation de (Jb), qui peut d'ailleurs appartenir ou non à (Jb). Si la fonction ©(A) est bornée, on a une proposition analogue à celle du n° 157 et qui se démontre de même : il existe un ensemble clos ou fini de points aux environs desquels s'accumulent les images de points A voisins de a.

Soient en effet £ un nombre positif quelconque, Jb Ys l'ensemble des points A qui sont à une distance du point a inférieure à s, et % (s) l'ensemble des points B images des points de Jb(e). L'ensemble &(e) est borné ; il existe (contient des points) quelque petit que soit £ ; il contient l'ensemble ÉB(s') si l'on a £ > £' ; il y a donc au moins un point b qui appartient à tous les ensembles éB Y ou qui est pour chacun d'eux un point d'accumulation : Je désignerai par $a l'ensemble des points b qui appartiennent à tous les