CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE l6l

ensembles £B(s) ou qui sont pour chacun d'eux point d'accumulation. C'est l'ensemble dont il vient d'être question : chacun de ses points b, jouit de la propriété suivante : quels que soient les nombres positifs a, fi, il existe un point À tel que l'on ait

aucun point pris en dehors de l'ensemble $>a ne jouit de cette propriété. La proposition précédente n'exige évidemment pas que la fonction <p (A) soit bornée dans tout l'ensemble (Jb), mais seulement aux environs du point d'accumulation a, c'est-à-dire dans l'ensemble (Jb') des points de (Jb) qui sont à une distance de a moindre que tel nombre positif donné que l'on voudra.

Si le point d'accumulation a est un point A0 de (Jb), on dit que la fonction ç>(A) est continue en ce point A0 pour dire qu'à chaque nombre positif fi on peut faire correspondre un nombre positif a tel que l'inégalité |A — AJ <C a entraîne l'inégalité |B — B0j <Cfi, en désignant par B0, B les images des points A0, A. Pour qu'il en. soit ainsi, il faut et il suffit que la fonction © A soit bornée aux environs du point A0 et que l'ensemble fini ou clos $Ao, dont on a donné la définition plus haut, se réduise au point B0. La démonstration est analogue à la démonstration d'une proposition du même genre que l'on a donnée au n° 157.

Si l'ensemble (Jb) est clos, la fonction B = ©( A est dite continue dans cet ensemble, lorsqu'elle est continue en chacun de ses points d'accumulation. Elle est alors bornée dans tout l'ensemble (,b) ; de plus elle est uniformément continue ; c'est-à-dire qu'à chaque nombre positif fi correspond un nombre positif a tel que l'inégalité |A — A'] <C a entraîne toujours l'inégalité |B — B'j -<j3, quels que soient les points A, A' de l'ensemble [Jb), dont B et B' sont les images. La démonstration du n° 162 se transpose en effet ici sans difficulté.

Je vais maintenant faire sur l'ensemble (Jb) et sur la fonction B = <p (A) les suppositions suivantes :

i° L'ensemble (Jb) est clos.

2° Les images de deux points distincts sont des points distincts; en d'autres termes la correspondance entre les deux ensembles (Jb) et (£B) est parfaite. Cette supposition entraine les conclusions sui-

Tanneby II. — Introduction à la Théorie des fonctions Jl

vantes : le point A peut être regardé comme une fonction 3>(B) du point B, déterminée dans l'ensemble (&), de même que le point B est une fonction de A, déterminée dans l'ensemble (Jb). Les fonctions B = <p(A), A = O(B) sont inverses l'une de l'autre (n° 168).

3° La fonction ©(A) est continue dans l'ensemble (jb).

L'ensemble (£6), d'après ce qui précède, est borné; je vais montrer qu'il est clos et que la fonction $(B) est continue dans cet ensemble.

Observons d'abord qu'il résulte évidemment des hypothèses précédentes que l'image de tout point d'accumulation de (Jb), point qui appartient à (Jb) puisque cet ensemble est clos, est un point de (£B) et, de plus, un point d'accumulation de cet ensemble.

Pour prouver que l'ensemble (0J) est clos, il faut prouver que tout point d'accumulation b de cet ensemble lui appartient, Or b étant un point d'accumulation de (£S), il existe, comme on vient de le montrer, au moins un point a, tel que, quels que soient les nombres positifs a, |3, il y ait un point B pour lequel on a

|B — 6|<P, |A — a\ == |*(B) — a\ <oc;

l'ensemble (Jb&) des points a qui jouissent de celte propriété est clos ou fini. Puisqu'il y a des points A de (Jb) aussi voisins de a qu'on le veut, a est ou un point de (Jb), ou un point d'accumulation de (Jb ; c'est toujours un point de (Jb), puisque cet ensemble est clos. Pour me conformer aux notations expliquées plus haut, je désignerai ce point a par A0 et je vais montrer que le point b n'est autre que l'image B0 du point A0 ; en effet, d'une part, il y a des points correspondants A, B qui sont respectivement aussi voisins qu'on le veut de a (ou A0) et de b ; d'autre part, en vertu de la continuité de la fonction ?(A), l'image de A est aussi voisine qu'on le veut de B0, pourvu que A soit suffisamment voisin de A0 : ces deux affirmations ne peuvent coexister que si le point b coïncide avec B0. D'une part, il est prouvé que le point b appartient à l'ensemble (£B) : cet ensemble est clos. D'autre part, il est prouvé que l'ensemble (Jbi) se réduit au point A0 ; donc la fonction (1>(B) est continue au point d'accumulation b (ou B(1 ; comme le raisonnement s'applique à tous les points d'accumulation de l'ensemble ($), la fonction A = <Î>(B) est continue dans cet ensemble.