CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE l

Pour exprimer alors les propriétés de la correspondance entre les deux ensembles (Jb) et ($), je dirai que cette correspondance est parfaite et continue.

La proposition qu'on vient d'établir s'applique évidemment lorsque l'ensemble (Jb) est un ensemble de points situés sur l'axe des x ; en d'autres termes, elle s'applique aux fonctions d'une variable : à ce titre, elle complète ce qui a été dit aux nos 168 et 169, dont il convient de la rapprocher.

Dans le cas où l'ensemble (Jb) est un ensemble parfait, les autres conditions étant toujours vérifiées, il en est évidemment de même de l'ensemble (&). On peut supposer, par exemple, que l'ensemble (Jb) soit un rectangle, dont chaque point A ou (x, y) est défini par les inégalités

et que chaque point correspondant B ou (X, Y) soit défini par les formules

oixfix, y), g(x, y) sont des fonctions continues dans le rectangle (Jb), telles que l'on n'ait jamais à la fois, pour deux points distincts

(x, y) et (x', y') de ce rectangle

f{x> y) =f(x'> y'). g(x> y) = gix'> y') ;

alors le rectangle (Jb) aura pour image un ensemble parfait (&) et les équations (î) définiront, sans ambiguïté, deux fonctions

continues dans l'ensemble parfait (&), fonctions dont les valeurs x, y seront toujours les coordonnées d'un point du rectangle (Jb) et vérifieront les équations (i) : à deux systèmes distincts de valeurs pour X, Y correspondront des systèmes distincts de valeurs pour x, y.

287. — Un ensemble de points (E) étant défini, l'ensemble (E0) des points qui n'appartiennent pas à (E) est défini par là même ;

l64 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

on peut désigner ces deux ensembles (E), (E0) sous le nom d'ensembles complémentaires (d).

Un point frontière d'un d'ensemble (E) est un point [qui peut d'ailleurs appartenir ou ne pas appartenir à (E)] tel que, à l'intérieur de tout cercle décrit de ce point comme centre, il y ait au moins un point appartenant à (E) et un point n'appartenant pas à (E), appartenant par conséquent à l'ensemble complémentaire (E0) ; l'ensemble des points frontières de (E) est la frontière (F) de (E) ; cette frontière est évidemment commune aux deux ensembles complémentaires (E) et (E0) ; un point isolé fait partie de la frontière de (E). Un point d'accumulation de (E) fait aussi partie de la frontière de (E), sauf dans le cas où il fait partie de (E) et où l'on peut, de ce point d'accumulation comme centre, décrire un cercle tel que tous les points intérieurs à ce cercle appartiennent aussi à (E).

Tout ensemble de points, autre que l'ensemble des points du plan, admet une frontière : il n'y a lieu à démonstration, d'après ce qu'on vient de dire, que pour un ensemble (E) qui n'admet pas de point isolé, et qui contient cbacun de ses points d'accumulation ainsi que les points intérieurs à un cercle suffisamment petit, décrit de ce point d'accumulation comme centre. Soit, s'il est possible, A un point qui n'appartienne pas à un tel ensemble (E). Puisque l'ensemble (E) contient ses points d'accumulation, il y a un point B appartenant à (E) et dont la distance au point A est égale ou inférieure à la distance du point A à n'importe quel point de (E) : on voit tout de suite que les points du segment de droite limité aux points A et B ne peuvent appartenir à (E), sauf le point (B) : cela est d'ailleurs impossible, puisque par hypotbèse on peut décrire du point B comme centre un cercle tel que tous les points intérieurs à ce cercle appartiennent à , E). Un ensemble de points qui n'a pas de frontière est donc l'ensemble des points du plan.

Tout point d'accumulation de la frontière (F) d'un ensemble (E) appartient nécessairement à cette frontière. En effet, si, de ce

(i) Celte définition peut s'étendre : si i E) est contenu dans l'ensemble (G), l'ensemble des points de (C) qui n'appartiennent pas à (E) peut être regarde comme l'ensemble complémentaire de (E) par rapport à (G) : cet ensemble complémentaire n'existe que si les deux ensembles (E) et (C) ne sont pas identiques.