CHAPITRE IX. LANGAGE GÈOMÉTUIQUE l

point d'accumulation comme centre, on décrit un cercle quelconque, il y aura, à l'intérieur de ce cercle un point de (F). De ce dernier point comme centre décrivons un second cercle assez petit pour qu'il soit contenu tout entier à l'intérieur du premier : le second cercle, décrit d'un point frontière comme centre, contiendra au moins un point de (E) et un point n'appartenant pas à (E) ; il en sera de même du premier cercle, dont le centre est donc un poinl frontière. Si (F) est un ensemble borné, ce sera donc un ensemble clos ou fini. Il en sera ainsi, en particulier, quand l'ensemble (E) est lui-même borné. Un ensemble clos contient sa frontière.

La distance à un ensemble clos (E) d'un point (A) qui ne fait pas partie de cet ensemble est égale à la distance de ce point à la frontière (F) de cet ensemble : soit, en effet, (B) le point de (E) [ou l'un des points de (E)] dont la distance à A est la plus petite possible ; les points du segment de droite dont les extrémités sont A et B ne peuvent, sauf B, appartenir à (E) ; il en résulte que B appartient a (F); d'ailleurs, puisque tous les points de (F) appartiennent à (E), il ne peut y avoir, dans (F), un point plus rapproché de A que le point B.

288. — Considérons deux points (x0, y0)y (xy, jt), puis deux fonctions <?(£), ^(/) continues dans l'intervalle (20, t%) et telles que l'on ait

L'ensemble (T) des points [<?(/), <\>(l)], obtenus en donnant à t toutes les valeurs qui appartiennent à l'intervalle [t0, t) est un ensemble parfait.

Tout d'abord, en effet, cet ensemble est borné. On voit ensuite, à cause de la continuité des fonctions v(t), <\>(t), que chacun de ses points est un point d'accumulation. Enfin, l'ensemble (T) n'a pas de point d'accumulation qui ne lui appartienne pas : en effet si (a, |3) est un point quelconque, la fonction

étant continue clans l'intervalle (/„, t{) atteint son minimum pour une valeur /' de t appartenant à l'intervalle (/O,0 : si ce minimum

l66 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

â n'est pas nul, il n'y a aucun point de (T) à l'intérieur du cercle décrit de (a, ]3) comme centre avec un rayon égal à â ; le point (a, ]3) ne peut être un point d'accumulation de (T) que si ce minimum est nul ; le point [a, |3) est alors le point de (T) qui correspond à la valeur /' du paramètre.

Je dirai que cet ensemble (T) relie (d'une façon continue) le point (x0, Jo) au point (xi} ji) et je le désignerai comme un lien entre ces deux points. Si je ne le désigne pas sous le nom de courbe, c'est que ce dernier mot éveille dans notre esprit une image, relativement simple, qui est souvent très différente de cet ensemble que l'on vient de définir, lequel peut être d'une nature très compliquée (l).

Supposons, pour fixer le langage, /0 <C h. Si l'on imagine que i croisse de U à tt, on range par là-même les points de (T) dans un certain ordre, les points qui correspondent à une valeur de t étant regardés comme précédant ceux qui correspondent à une valeur plus grande. En faisant décroître / de t± à t0, on rangerait les points dans l'ordre inverse. On dira dans le premier cas que le lien est parcouru dans le sens qui correspond aux valeurs croissantes de t ; dans le second cas, qu'il est parcouru dans le sens qui correspond aux valeurs décroissantes de /. Un point du lien sera entre deux autres si la valeur de t auquel il correspond est intermédiaire aux valeurs de / auxquelles correspondent les deux autres.

Toutefois, quand on emploie ce langage, il ne faut pas oublier qu'un point du lien n'est spécifié que par la valeur de i auquel il correspond ; il n'est pas nécessairement spécifié par ses deux coordonnées x, y ; rien n'empêche, en effet, dans la définition du lien, qu'un même point x, y puisse être obtenu pour deux valeurs distinctes de la variable, les équations

(i) ?(0 = ?(0, -KO = *(<")

pouvant être vérifiées par des nombres distincts t', t" qui appartiennent à l'intervalle (tç>, ti). Dans ces conditions, un même point de (T) (un même couple de nombres) peut se trouver avant ou

(r) M. Peano a donné l'exemple d'un ensemble de celte nature, forme detous les points qui appartiennent à un carré.