CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE

après un point du lien qui coïncide avec lui, avant et après un autre point du lien.

Le lien (T) est dit simple, lorsque deux points qui correspondent à deux valeurs distinctes de /, appartenant à l'intervalle (U, ti) sont toujours distincts, lorsque, en d'autres termes, les équations (i) n'admettent pas de solution où t' , t" soient des nombres distincts qui appartiennent à l'intervalle (t0, ti).

En d'autres termes encore, si le lien (T) est simple, il y a une correspondance parfaite entre les points de (T) et les nombres de l'intervalle (/0. h), nombres que l'on peut, si l'on veut, regarder comme les points d'un segment porté par un axe. Les propositions du n° 286 s'appliquent : un point A de (T) est une fonction continue de t, définie dans l'intervalle (U, ti) ; inversement t est une fonction continue de A définie dans l'ensemble (T) ; on peut écrire t = <ï> (x, y) en désignant par x, y les coordonnées de A.

Supposons que les deux équations

x =/("); y = g{a)> («,,<; h <jiii),

oùf(u) et g (a) sont des fonctions continues de u dans l'intervalle («0) Kt) définissent le même lien simple (T) que les formules

en sorte qu'il y ait une correspondance parfaite entre l'ensemble (T) et l'intervalle («0, u±), comme entre l'ensemble (T) et l'intervalle (£0, t^ ; il en résulte une correspondance parfaite entre les deux intervalles (u0, Ui), {U, U), étant entendu que i et a se correspondent s'ils correspondent à un même point de T ; t sera une fonction continue de u, définie dans l'intervalle (h0> Ui), à savoir, en conservant les notations précédentes

de même a sera une fonction continue de t, définie dans l'intervalle (t0, ti). La fonction t= h(u), par exemple, qui exprime t au moyen de u, est nécessairement ou croissante dans tout l'intervalle (iio, Mi), ou décroissante dans tout cet intervalle (n° 169). Dans le premier cas, t0 correspond à ii0 ; il correspond à «i, dans le second. Réciproquement, si dans les fonctions (p(t), ^ (i) on

remplace t par une fonction h (u) définie dans l'intervalle (u0> Ht), continue et croissante (ou décroissante), dans ce même intervalle, et prenant, suivant les cas, les valeurs qui vont de t0 à tt ou de ti à /0 quand u croît de «0 à uif il est clair que l'on aura des expressions de x, y en u qui représenteront le même lien simple que celui d'où l'on est parti.

Lorsque u croît de u0 à «i, le lien est parcouru, suivant les cas, dans le sens qui correspond aux valeurs croissantes de t, ou aux valeurs décroissantes.

Lorsqu'on donne un lien simple (T) dont tous les points correspondent d'une façon parfaite à l'intervalle (t0, ti), on définit sans ambiguïté le sens dans lequel ce lien est parcouru en se donnant deux points A, B de ce lien et en disant lequel de ces deux points doit être regardé comme le premier. Les explications qui précèdent montrent clairement qu'on peut toujours, en changeant au besoin la variable, s'arranger pour que le sens du parcours choisi corresponde aux valeurs croissantes delà variable.

J'aurai souvent l'occasion, dans ce qui suit, de parler d'un lien défini par des formules telles que

il devra toujours être sous-entendu que les fonctions cp(l), ty(t) sont continues dans l'intervalle (U, U).

289. — Si l'on se donne une suite de points A0, Ai, ..., kp dont chacun est relié au suivant par un lien, on se donne, par làmême, un lien qui relie le premier au dernier ; l'ensemble des points qui lui appartiennent n'est autre chose que l'ensemble des points qui appartiennent aux liens partiels.

Il suffira, pour la démonstration, de considérer trois points (a?o, }'o), (xi, ji), (xo, y-2).

Supposons que les liens qui relient le point (x0, jo) au point (cet, y,) et ce dernier point au point (xi, )'>) soient définis par les formules

* = <p(0. y = 'HO. to^t <<i;

x = o'(t>), y=nt'), ^<i'</,'.