CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETIUQUE

en sorte que l'on ait

*o = ?(.'<>)» Jo = ^ (*o)

Soient maintenant a, |S, y trois nombres fixes quelconques, tels que l'on ait a << |3 <C y.

Définissons u comme une fonction de t dans l'intervalle (t0, /i), comme une fonction de t' dans l'intervalle (Y0, t'i)> par les formules

t0 — ti t0 — îi

qui donnent la même valeur u = fi pour t — tt et f = /0' ; lorsque t croîtra de U à ti} u croîtra de a à fi ; lorsque /' croîtra de p à /j, w croîtra de jS à y.

Considérons maintenant deux fonctions de u, f(u) et g (u) définies de la façon suivante dans l'intervalle (a, y) :

Pour les valeurs de u qui appartiennent à l'intervalle (a, |3), valeurs auxquelles correspondent des valeurs de t appartenant à l'intervalle (t0. ti) on a

Pour les valeurs de u qui appartiennent à l'intervalle (fi, y), valeurs auxquelles correspondent des valeurs de t' appartenant à l'intervalle (/„', /,'), on a

à la valeur u = fi correspondent à la fois la valeur tt de t et la va leur t'0 de t' ; mais les deux définitions fournissent les mêmes valeurs tant pour f(u) que pour^r(u).

Dès lors, il est clair que le lien défini par les formules

n'est autre chose que l'ensemble des points qui appartiennent aux deux liens donnés, qui reliaient le point Xo, Jo au point Xi, Ji et le

point Xi, ji au point x-2, y>- Il est à peine utile de dire que la continuité des fonctions ©(/), <\>(t), (p' (?), <|/(f) entraîne la continuité des fonctions /(a), g(u) dans l'intervalle (a, y).