Un lien (T) défini par les formules

est dit Jermé, lorsque son origine coïncide avec son extrémité ; on a alors

Dans ce cas, le lien relie à lui-même le point [<p (£<>)> 4^°)]' on suppose d'ailleurs que le lien ne se réduit pas à ce point. Le lien fermé (T) sera dit simple, si les équations

n'ont pas, dans l'intervalle (Z0, Zi), d'autre solution où /' soit différent de f que la solution t' = /0, t" — ti ou i' = U, t" = t0. Un lien fermé simple, n'est pas un lien simple, au sens du n° 288 ; par conséquent l'épi thète « fermé » ne doit jamais être sousentendue ; au reste, si l'on veut appuyer sur la distinction, on pourra qualifier d'ouverts les liens simples définis au n° 288.

Dans le cas d'un lien fermé, il est souvent commode, au lieu de regarder les fonctions cp(t), <\>U) comme définies seulement clans l'intervalle (t0, ti), de les regarder comme des fonctions périodiques de /, la période étant m = ti — t0. S'il s'agit d'un lien fermé simple, ces fonctions ne reprennent à la fois la même valeur que si la différence des valeurs de / est un multiple de m/ De cette façon, le point spécial qui est à la fois l'origine et l'extrémité du lien n'est pas spécifié.

On a déjà fait remarquer qu'on pouvait établir une correspondance parfaite et continue entre les points d'un lien simple ouvert et les points d'un segment de droite. On peut, de même, établir une correspondance parfaite et continue entre les points d'un lien fermé simple et les points d'un cercle.

Considérons, sur le lien fermé simple (T), défini comme on a dit plus haut, deux points distincts A et 13 qui correspondent à deux valeurs «, |3 (a. <C jS) de t. Ces deux points décomposent le