CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE I7I

lien fermé en deux liens simples ouverts, qui relient À à B. L'un de ces liens correspond aux valeurs de t qui satisfont aux conditions g < t < fi et l'autre aux valeurs de t qui satisfont soit aux conditions U~<^t<i a, soit aux conditions fi < t < U.

Lorsqu'il s'agit d'un lien simple ouvert, on a vu qu'il suffisait, pour définir le sens dans lequel ce lien est parcouru, de spécifier lequel de ses deux points extrêmes devait être regardé comme l'origine, lequel comme l'extrémité.

Lorsqu'il s'agit d'un lien fermé simple, pour définir de même le sens du parcours, on peut se donner deux points distincts A, B du lien, choisir l'un des liens partiels dans lequel le lien est décomposé par ces points et dire que ce lien partiel ^ouvert est parcouru, par exemple de A vers B ; il est alors sous-entendu que l'autre lien partiel doit être parcouru de B vers A. On peut aussi se donner, sur le lien fermé, trois points A, B, C et spécifier, par exemple, qu'ils doivent se suivre dans l'ordre A, B, C ; les deux points A, B partagent encore le lien fermé en deux liens partiels ouverts, dont l'un contient le point C ; celui des deux liens partiels qui ne contient pas le point C doit être parcouru de A vers B et l'autre de B vers C, puis de G vers A.

Ici encore, on peut toujours, en changeant au besoin la variable, s'arranger pour que le sens de parcours choisi corresponde aux valeurs croissantes de la variable.

Si le lien (T) est fermé, à chaque nombre positif a correspond un nombre positif |3 tel que la distance de deux points du lien soit sûrement moindre que a lorsque la différence entre les valeurs correspondantes de l est moindre que fi, ou lorsque les différences respectives entre l'une de ces valeurs et U, entre l'autre de ces valeurs et U, sont moindres crue fi en valeur absolue. Si le lien est fermé et simple, à chaque nombre positif a correspond un nombre positif fi tel que, lorsqu'on sait que la distance entre deux points du lien est moindre que fi, on peut affirmer que la différence entre les valeurs correspondantes de / est moindre que a. en valeur absolue, ou bien que les différences respectives entre l'une de ces valeurs et /0, entre l'autre de ces valeurs et U sont moindres que a en valeur absolue. Ces énoncés peuvent être un peu simplifiés lorsqu'on regarde, comme on l'a expliqué plus haut, les fonctions <[>(t), <\>[l) comme périodiques.

Ij2 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FON'CT10>S

291. —Soit (E) un ensemble de points et (F) sa frontière; soient A0 et Ai deux points dont le premier appartient à (E), dont le second ne lui appartient pas : sur tout lien qui relie le point A0 au point Ax, il y a un point de la frontière (F).

Supposons en effet que le lien (T), qui relie A0 à A: soit défini par les formules

et que A0, Ai correspondent respectivement aux valeurs t0, tx de t. Soit t' une valeur de / appartenant à l'intervalle (Z0, h) et plus grande que /0. Si l'on ne peut choisir t' de manière que tous les points de (T) qui correspondent à des valeurs de t appartenant à l'intervalle (£o, t') soient contenus dans (E), c'est qu'il y a des points de (T) aussi voisins de A0 qu'on veut, qui n'appartiennent pas à (E) ; A0, qui appartient à (E), est alors un point frontière. Ecartons ce cas.

Si l'on peut choisir t' de manière que tous les points de (T) qui correspondent à l'intervalle Çt0, t') appartiennent à (E), soit Q la borne supérieure de l'ensemble des nombres t' qui jouissent de cette propriété. Le nombre Q est au plus égal à U. Le point P du lien, dont les coordonnées sont (p(6), ty(d), est un point frontière de (E). En effet, supposons d'abord Q inférieur à U. Si 6' est un nombre quelconque compris entre 6 et t\, il y a dans l'intervalle (6, &) quelque valeur de t à laquelle correspond un point du lien qui n'appartient pas à (E) ; autrement 0 ne serait pas la borne supérieure des nombres t' , borne qui serait au moins égale à S' ; puisque ô' peut être pris aussi voisin qu'on veut de Q, il y a des points, aussi voisins de P qu'on veut, qui n'appartiennent pas à (E) ; il y a aussi des points de (E) qui sont aussi voisins de (P) qu'on le veut, à savoir les points du lien qui correspondent à des valeurs de t plus petites que Q et suffisamment voisines de Q. P est donc, pour (E), un point frontière.

Enfin, si Q est égal à h, le point P coïncide avec A, qui n'appartient pas à (E) ; les points du lien qui correspondent à des valeurs de /, plus petites que 6 et aussi voisines de Q qu'on le veut appartiennent à (E) ; P (ou Ai), est un point frontière de (E).

Dans tous les cas, il y a, sur le lien (T) un point de la frontière de (E), point qui peut d'ailleurs être A0 ou At.