Théorème. — De la suite des nombres
a, ft, Cy...y h, /, k = D{a, b) on peut déduire une autre suite
ces nombres, respectivement inférieurs à
étant tels que les valeurs absolues des différences
abi — baxy bct — cbi^...^ A/, — /A,,'
sont égales àD{a, b), et par conséquent à V unité y quand a etb sont premiers entre eux.
Cette propriété est fondamentale, elle résulte d'une autre plus générale qui sera donnée plus loin.
Du moindre multiple de plusieurs nombres,
17. Le moindre multiple des nombres a et 6 sera représenté par m [a, 6), de pfiême le moindre multiple des nombres a, 6, c,. . . le sera par m (a, 6, c,...). La recherche du moindre multiple se fait au moyen des propositions qui suivent :
Théorème. — Pour quemdi soit multiple de h, on doit avoir m multiple de 7— :• Autrement, rr- j— est la formule des multiples de
a et b. Le moindre multiple m{a,b) égale -— — j-^ et l'on a ab = m[ay 6).D(a, b).
34 INTEODUCTION A LA THfiOllE DBS NOMBRES.
Démonstration. — Prenons les équations
a=ba'-+-c, b=:cb'-hd, c = dc'-he, d=ed\
d'où Ton tire
e = D(rt, 6).
Comme ma z=: mba'-\- me, on aura me multiple de b. De même mb = mcb' -h md donne md multiple de ft, et me = mdc'-h me donne me ou mD(a, b) multiple de 6= 6'.D(a6), et par suite m multiple de
6' ou de frr-Tî* Puisque m = rr-; — 7-1 on aura D{ab) ^ \j{a,b)
abz ma=^
\){ab)
pour tout multiple de a qui Test aussi de b.
Le moindre multiple de a et 6 répond à 2 = i, on a donc
D<a, b) ou bien encore
ab=:m{ay b),J){a, b).
Théorème. — Tout multiple de a et b est multiple de m (a, b) ou du moindre multiple de a et b.
. Remarque. — Celte proposition s'étend à tant de nombres qu'on voudra.
Théorème. — On a
m(a, b, e) = m[m{a, 6), c] = m[m(a, r), b] = m[m(by e), a].
C'esl-à-dire que, pour avoir le moindre multiple de trois nombres, on peut prendre le moindre multiple de deux d'entre eux, puis le moindre multiple de ce nombre et du troisième des nombres donnés.
Théorème. — On a
et
m{a, b, c, d)= m [m(a, b), m{c, rf)] =
Dans ces formules et toutes celles du même genre qui se présentent immédiatement, l'ordre des nombres venant à changer, le résultat reste le même. Elles ne diffèrent des précédentes que par le changement de D en m.
COUJttlJN DIVISEUR. 35
Remarque. — La formule du moindre multiple pour tant de nombres qu'on voudra sera donnée dans le chapitre suivant, sous une
forme analogue à celle de l'équation m (a, ft)= j^ r-.? forme, il
est vrai, sans application pratique, mais très-utile en théorie.
Simplification du calcul du nombre D(a, b).
18. On peut dans l'équation a^^ba-^-c prendre indifféremment pour c le résidu minimum positif ou le résidu minimum négatif. Ainsi 29 = 6.4-1-5 peut être remplacé par 29 = 6.5 — i. Pour la brièveté du calcul, il est bon de prendre celui des résidus qui a la moindre valeur absolue. Le calcul s'abrège quelquefois encore plus au moyen de la remarque suivante : le nombre k étant premier à a y on a D(a, Âr6) = D(a, 6), puisque tout diviseur de a qui divise kb divise 6. D'après cela, on mettra en évidence dans c, quel que soit son signe, un facteur a" premier à 6, on remplacera e par a"c, c étant positif et a" étant positif ou négatif selon le cas. L'équation a^:=^ha' -\-a"c donnera D(a, A)=;=D(6, c). Dans cette équation a!
sera uh des entiers consécutifs entre lesquels tombe t* Pour a' <C -r^
on pourra avoir a'=i; quant à a", il sera positif. Pour «'>>^î on aura toujours a' > i et V sera négatif. On admettra donc le système
a = ba'-h a"c, b=zeb' -\- b"d, c = dc' -\-&' e, . . . qui donne aussi
D(«, 6) = D(A, c) = D(c, rf) = .-..
Ainsi pour deux nombres impairs a et ft, en supposant a' impair, a" c est pair et Ton prendra pour a" la plus haute puissance de 2 qui divise a — ba', cette puissance ayant le même signe que a — ba\
19. Ceci expliqué, Voici une conséquence importante du système d'équations qui donne D(a, b). Pour simplifier, on peut réduire à six le nombre de ces équations ; la loi du calcul se manifeste de même.
3G 1!«TB(>DLCT10N A |.\ THfiOBIE DIS XOHBBES.
Les équations
Ifl = 6fl' -+- a" c. a, = 6, a 4- a" r, ,
c = dc' -^c" e, * r = rf, r' -f- r'' e,.
''^ j d=ed'-\-d"f. '""^ ' £/. = e.^ M-rf''/,
i bc, — cb, = b"(dc,^cd,)=—b''c'd''e''D{a, b), (3) ^ erf, — flV, = r"(^^/, — rf^.)=-+-cW"D(fl, 6),
se vérifient presque immédialemeni. Les équations (2) ne diffèrent des équations (i ) que par le changement de a, b, c, rf en a, , 6. , c, , rf, , les deux dernières ^, =/,e',/ = i sont données à priori. L'élimination de a', b\ c', rf', entre les équations correspondantes (i) et (2) donne les deux premiers membres des équations (3), la dernière équation (3) n'est que ravant-demière du système (i). La multiplication membre à membre des équations (3) et la suppression des facteurs communs donnent les troisièmes membres. On peut aussi trouver ces équations comme il suit : I-.a dernière équation du système (3) n*est autre que Tavant-dernière du système (i ) e =/«'-f- e'^g, puisque Ton a
g = D(a,b), /=! et e, = e' = e'f^.
L'avant-dernière équation du système (3) vient de l'équation d = ed'-hd''f
d'où l'on a éliminé / au moyen de l'équation
fe^ = ef^-e"D{a,b).
La réduction se fait en posant
