COMMUN DIVISEUR
L'antépénullième équalion du système (3) se lire de même de l'équation
par l'élimination de e, en posant
et ainsi de suite. L'équation la plus importante est ba, — aby = — a" b" c" d" e" D (a, 6).
Si Ton prend al' =:^b" =^ c"=^,,.^= \^ comme dans la méthode ordinaire, on aura
ba, — ab, = [— ij^D (a, 6),
n étant le nombre des termesf de la suite a!\ b"^ c'\ d"y e". . ., ou le nombre des équations qui donnent D( a, 6) = g-. Si Ton prenait
a" =b^z=c'=,.. =— I, on aurait
bai — abt = î)(a,b).
Les équations (i) et (a) donnent
- — a. =a'f fc.Wa" (- — CiV
Pour a", 6'% c'% . . . égaux à i, on reconnaît tout de suite que les premiers membres sont positifs, comme composés de parties positives.
11 en est encore de même pour a'\ 6", c",. . ., égaux à — i, parce que a\ 6', c',. . ., valent 2 au moins.
On est donc conduit à l'équation
bai — a^i = ± D ( a, ft),
38 INTROUtCTION A LA TUÊORIE DES NOMBRES.
en supposant a, <Crri rr' ^t^Cm tt' ^^ sorte que a6, et 6a,
sont inférieurs à m ( a, 6 ) .
Si Ton prenait
on aurait
ab\--bd, =±:I)(a, 6),
le signe du second membre restant le même.
Restes des nombres en progression arithmétique.
20. Théorème. — Quand on divise les termes successifs d'une progression arithmétique dont la raison est a, par un même nombre b, les
restes forment une période de jr- j- termes inégaux. Le reste
zéro se présente toujours si\)[a, b)=i, mais siD[a, b) surpasse i, il faut que D (rt, b) divise le premier terme c, pour que le reste zéro se présente.
Démonstration. — On suppose les termes de la progression donnés par la formule ax-\-c en y posant successivement
de sorte que le premier terme est c et la raison a. Afin qu'un reste déjà obtenu en faisant :r = a se présente de nouveau pour a; = a -}- p, il faut et il suffit qu'on ait a(3 multiple de b, ou (3 multiple de
fr-, J-' On voit par là qu'il v a tt-, r; restes différents répon-
dant à
'' = ''' ■'"' ^' -'Dî^TT)-'-
Ainsi pour D (a, 6)= i, il y a 6 restes, savoir, à Tordre près, o, I, 2, 3) .. . , b — I.
Quand D(a, b) surpasse i, il y a ^rj r: ï*estes, et si l'on pose
ïj [a f j
PROBLÈME FONDAMENTAL. Sg
ils sont compris dans la formule D{a, b)Z'hc'\ en y faisant
Le reste zéro ne peut se présenter que quand c*^=o; on suppose c" positif et inférieur à D(a, 6).
Résolution de V équation ax -h c=: by.
21. Problème. — Les nombres a et b étant premiers entre eux^ troui^er la moindre valeur de x qui rend ax-i-i divisible par 6, et par suite celle qui rend ax + c divisible par 6.
Solution. — En supposant a plus grand que b, les équations du plus grand commun diviseur conduisent à Téquation
ba — a(3=±:i.
Pour le signe supérieur on a
ba = a^-h I,
et la valeur de (3 est inférieure à b.
Si Ton multiplie par c et que dans
b(c(x) = a{c^)-\-c, on fasse
il s'ensuivra que a(3' H- c sera divisible par b, (3' étant inférieur à 6. Si Ton avait eu
comme a et (3 sont respectivement moindres que a et b, on aurait posé
et la réduction aurait donnée en changeant les signes,
comme dans le cas précédent.
La solution particulière ^ = a , r = |3 donnant
aoc-hc = b^ ei a{x — a) = b{y-^^),
4o I.MHODICilON \ LA THÉORIE DES NOMBRES.
un en tire la solution générale
où u est un entier quelconque.
Exemple, — Soit proposé de trouver: i" le plus grand commun diviseur des nombres 5-11 et i5i; 2° la moindre valeur de x qui rend i5ix-+- i divisible par 5*22; 3° la moindre valeur de xqui rend i5ix-+-7 divisible par 5-22.
Voici lo procédé à suivre :
