i5i . 121 = — I ; mais si Ton pose
121 =522 — 4^1, on trouve
On a donc
divisible par 622. Multipliant par 7, il vient
divisible par 522. Si Ton ôte de 2807 cinq fois 522 ou 2610, il reste 197, et Ton a
i5i.i97-h7 divisible par 522.
Ayant trouvé Téquation
pour rendre i5i^-f-c divisible par 522, on aurait pu multiplier par — c
puis chercher le multiple de 522 immédiatement supérieure 121c; la valeur cherchée de x qui rend \^\x -\-c divisible par 522, aurait
4a 15TmODUGT10N A LA TBÉORIB DES TfOMBRBS.
été la difTérence du multiple de 622 et de 121c. Pour = 7, on a
121.7 = 847, 522x2=1044, »o44 — 847=197, valeur trouvée plus haut
22. Voici un second mode de calcul qui consiste à descendre de la première des équations ( i ), page 36, aux suivantes :
On forme, au moyen des nombres a', fr', c', c/% . . ., les deux suites ^i, ^j, ^»...,^i , J^i, J^a-.. par les équations (4) et (5); l'élimination de b', c',. . ., entre les équations correspondantes de deux systèmes (4) et (5 ) donne le système (6), et les équations de la recherche du plus grand commun diviseur donnent les équations(7) par de simples éliminations.
Xi = fc' X, -h «",
( 4 ) { Xi= c' Xi-h b" Xx , Xi = d'x;i-h c" x^y x^=^e' x^-\' d" Xi ,
Xxyi — Xiy, = — ci!\ x^y^ — x^y-, = 4- a" V\ Xi yt — Xty-s = — a" b^c".
bxi — «j, = — a" c, bx, — ay, = -ha''b''d, 7) l bx,"'ay,= — a"y'c"e,
bx,-ay,= ^a"b"c''d'\f, bx,-ay, = — a"b"c"d"e"^,
La première équalion ( 7 ) n'esl que
a=^ba'-hn''c ou ba' — a.i = — «"r,
d'après les notations (4) et (5). L'équation
b=ch'-^b"d, mise sous la forme
donne la seconde équation (7) en remplaçant a" par x^ — b'xx et — - a"c par bxx — aji.
Quand les deux premières équations ( 7 ) ont été vérifiées, comme les trois premières donnent
b [x^—c'x^.'^b" x,)—a[x,—c'x^—b'y,)=a"b"{c—dc'—c"e)=o, la troisième équation est aussi vérifiée.
Fractions continues.
23. Les fractions continues conduisent plus directement à l'équation
ax, — bx, = a''b''c''d''e''D{a, b).
En effet, les équations
a = ba'-\- a" c, b = cV-\-b"d, c=d(/-\-c"e, d = ed'-\-d"f,
f=Sf'^ de la recherche du plus grand commun diviseur de «, b donnent
Ce
44 INTRODUCTION A LA THfiORIB DES NOMBRES.
par suile
Cesi là ce qu'on nomme fraction continue; le plus souvent on prend a"= b"=c"= . . .=r i. On a dans ce cas les fractions continues ordinaires à termes positifs, telles que
En [)renanl a" = h" = c"= . . . = — i , on aurait les fractions
h' \ -fc'-H '-
^/.~.. rf'— . ..
dans laquelle les dénominateurs 6', c', d',,, sont alternativement négatifs et positifs. Ces fractions, qui se sont présentées à Gauss {Réduction des formes), sont quelquefois plus avantageuses que celles à termes tous positifs.
Les équations
^3 =zc'x2-h b"x^ , r3 = c'7 2 4- h"y\ ,
x^ =d'x^-h c" x-i , y\ =z rf' 7 '., -I- c" 7 '2 ,
^j = ^' ^, -f- rf" ;r 3 , > 's = e\') \ -h rf",T •* ,
donnent par élimination
x\y\—y\x, =—arh"c"d"e\
aXh bx\
D(a, 6) D(«, 6) Les deux suites
s*obtiennent en faisant
Xi . Xi , a" Xi , a"
— = a, — = a'-+-TT9 — =a ■
On passe de — à — en changeant b' en 6'+ -r dans — ^^ de ~ a ~ en
remplaçant c' par <^'-+- ;77' et ainsi de suite.
Quandon faita"= 6"=c'" = . . . = 1, ce qui est le cas des fractions continues ordinaires, les fractions partielles
ou encore
X\ Xi x%
sont alternativement plus petites et plus grandes que la fraction -^
46 I.'HTRODUCTIO?! A LA THÉORIE DES ."lOMBIIKS.
dont elles approchent de plus en plus; Oii les nonnne fractions co/ivergentes ; eiSLUSSï réduites, i^arce qu'elles sont irréductibles, comme le montrent les équations
Dans la fraction
à termes alternativement positifs et négatifs, les expressions a\ rt'H Îy7, a'-+-
sont toutes plus grandes que j^ dont elles s'approchent de plus en
plus. Ces fractions réduites en fraction ordinaires sont aussi irréductibles.
Pour réduire une quantité réelle quelconque x en fraction continue ordinaire, on représente par E (x) l'entier immédiatement inférieur à X, et l'on pose
x=Eix)-h-^,i
comme —7 doit être moindre que l'unité, il faudra que x' surpasse i. On fera de même
et ainsi de suite; ce qui donne
E(jr')-|-
Cette opération peut se prolonger à Tinfîni.
En représentant par TJ{x) l'entier immédiatement supérieur à x, on aurait eu
x=xE'(x)-^, x'=E'(x')-^^,---'
et de là
^'^-"^-^ :^Wûn
Quand on applique celte méthode à la réduction en fraction continue des racines incommensurables d'une équation du second degré à coefficients entiers
az^-\-bz-\-c = o,
on trouve une fraction continue périodique, qui sert pour la résolution des équations indéterminées de la forme
ax^ -f- bxy -h c}^ = n .
Cette remarque sera développée.
4B IMTRODUrTK» A I.A TII^ORIR 1>RS NOMBRES.
