DIVISEURS DES NOMBRES
Pour a=i, (3 = )/=:...= o, n qui se réduit à A est un nombre premier.
Théorème. — Il y a une infinité de nombres premiers.
Démonstration, — Soient a, 3, 5, 7, . . . , P tous les nombres premiers jusqu'à P, il y en a encore de plus grands, car si le nombre iH-i.2.3,...P n'était pas premier, il aurait un diviseur premier nécessairement plus grand que P. (OEuvres d'Euclide, livre IX.)
Théorème. — Tout nombre premier A qui divise mB divise m. C'est une conséquence deD ( A, B) = i. On peut aussi le prouver directement par les équations
B = A?4-r, B = r5'-h/', B = r'9"-hr",. . .;
il suffit de remarquer que la suite r, r', / ". . . doit finir par le reste 1 , et que
mr^ mr' y mr"^ , . ,, m
sont divisibles par A, parce que Ton a
mB = mAq-\-mr, mB= mrq' -h mr', etc.
Le cas de A > B se traite de même.
Théorème. — Tout nombre premier P qui divise un produit, divise un de ses facteurs.
Théorème. — La décomposition d'un nombre en facteurs premiers sous la forme A'^B'® C^ . . . est unique.
Théorème. — Toute puissance /i* décomposée en facteurs premiers a la forme k^ B/^^ C>'^ .,, en posant /i = A" B^ C. ...
Théorème. — Les diviseurs de n = X°^ B^ C*'' . . . ont la forme ^a g^ C*/ . . . , les nombres a', (3', y', . . étant au plus égaux aux nombres correspondants a, (3, y....
a' = (3'= /=...= o donne le diviseur i.
a' = a, P' = (3, y'=y,, . . donne le nombre n lui-même.
On nomme nombres premiers entre eux ceux qui n'ont aucun diviseur commun excepté i. La décomposition en facteurs premiers rend évidentes les propositions suivantes.
5o INTRODUCTION A LA THÉORIE DES NOMBRES.
Théorème. — Si les nombres a,b, c,, .. sont premiers à k, leur produit l'est aussi.
Théorème. — Si les nombres a, b, c, . . . , premiers entre eux deux à deux, divisent h, le produit abc . . . divisera aussi k.
Théorème. — Si une puissance d'exposant k est décomposée en facteurs premiers entre eux deux à deux, ces facteurs seront des puissances d'exposant k.
Théorème. — Les diviseurs de /i = A" B* C*. . . sont les termes du produit
Le nombre des diviseurs est égal au produit
(i -ha)(n-6) (i -hc)....
La somme des diviseurs est égale au produit
Remarque, — Le changement de A, B, C,. . . eiT A*, B*, C*,. . . , puis celui de a, ft, c,. . . en E ( jT j> E f 7:j> E ( t )»••• fait trouver les diviseurs qui sont des puissances d*exposani Âr, leur nombre et leur somme.
Théorème. — Le nombre des décompositions de n en deux facteurs conjugués d et -^ est égal à la moitié de ( i H- a) ( i -+- 6 ) ( i -f- c ).. .
si n nest pas un carré, et à cette moitié -\- - si n est un carré.
Théorème. — Le nombre ii = A**B* C^ . . où les facteurs A«, B*, C%...
sont au nombre de l, peut être décomposé en deux facteurs d, -,
premiers entre eux, de 2'~-' manières.
Dans ces deux théorèmes, pXq et qXp ne font qu'une même décomposition; pour effectuer ces décompositions, on prend pour premier facteur d un terme du produit
(a) (i + A4-A^-+-...-hA-) (n-B4-...-f-B*) (i -+-C-h...4-e)....
DIVISEURS DES NOMBRES. 5l
Dans le cas où les deux facteurs peuvent être quelconques, le deuxième facteur -% est aussi un terme du produit, différent du
facteur rf à moins que Ton n'ait n=k* eid = k; alors il faut ajouter -
à la moitié du produit {i -{- a){i -\-b) {i -\-c),...
Dans le cas où les deux facteurs doivent être premiers entre eux, il faut prendre pour premier facteur d un terme du produit
alors l'autre facteur -^ est aussi un terme du même produit, et comme
le nombre des termes est 2', le nombre demandé sera 2'-'.
Théorème. — Si les nombres a,b,c,,.,, sont décomposés en leurs facteurs de la forme A*, B^, G*'',. . ., 1° pour avoir le plus grand nombre qui divise chacun des nombres a, b, c,..., on prend le produit des nombres premiers A, B, C,..., qui entrent à la fois dans a, b, Cy,,., en leur donnant le moindre exposant qu'ils ont dans ces nombres; 2° pour avoir le moindre multiple des nombres a, b, c,..., on prend le produit de chacun des facteurs A, B, G,... qui entrent dans tous les nombres a, b, c,,.., en donnant à chaque facteur premier le plus grand des exposants qu'il a dans ces nombres.
Démonstration. — Pour le commun diviseur maximum, la règle donne un diviseur, et comme l'introduction d'un nouveau facteur premier, ou l'augmentation d'un exposant donnerait un nombre non diviseur commun, on a réellement le plus grand commun diviseur. Pour le moindre multiple commun, la règle donne effectivement un multiple, et comme la suppression d'un facteur ou la diminution d'un exposant donnerait un nombre qui ne serait pas multiple commun, on a réellement le moindre multiple commun.
W, Théorème. — On a
. , a6cD(a,6,c) m{a,o, c)= ^f-. — rrrrr rfrrr — ^'>
et généralement en représentant par P, le produit de n nombres
n,b, c,...y l , par P, le produit des diviseurs D {a, b) des n
nombres combinés i ùil; par P, le produit des — — "^ \, divi-
seurs D (a, b, c) des n nombres combinés ZàZ^ et ainsi de suite jusquà P„ qui ne contient que le terme D ( «, fc, c. .. /),
