PP. P

m(a,b,c..,l)= ' ^' ' " pournimpair^

m(a,b,c,..l)=--— — - pour n pair.

Démonstration. — Les nombres a, 6, c,...,/ clanl rangés de manière qu'un certain fadeur premier A Jr entre avec les exposants a,P>y>««->^> quivont en décroissant, ou du moins non en augmentant, on verra tout de suite que Texposant de A est égal

dans P, à .

dans P, à...

dans P, à. . .

dans P4 à, . .

Cela est évident pour le produit P,. Pour les autres produits, les lettres étant rangées suivant Tordre alphabétique, on voit que dans D ( a, fc) rexposant de A est B comme dans fc, que dans D (a, fc, c) l'exposant de A est y comme dans c, que dans D( a, 6, c, d) l'exposant de A est d comme danse/; ainsi dans le produit

P, = D(rt,6)D(«,c)D(6,c)...,

en cherchant combien il y a de nombres avant fc, avant c, avant </y,etc., on trouve que l'exposant de A est égal à

(3-h2y-i-3aH-...-h(/i— i)X.

Dans le produit

P3 = D(a, &,c)D(rt, fc,rf)D(*, c, rf)..., en cherchant le nombre des combinaisons deux à deux des nombres

MOmDRE COMMUN MULTIPLE. 53

qui précèdent le dernier, on verra qiie l'exposant de A est

et ainsi de suite.

L'exposant de A dans JJ^' sera donc

et dans cet exposant le multiplicateur de X est égal à

\—in— i)4-^— ^-^— ' —

Si Ton remplace n — i par /r, la somme algébrique

représentera les coefficients de (3, y, d,...,> dans e, selon qu'on aura k= t, 2, 3, . . . , /l I.