PP

L'exposant de A dans p' p" ' ' est donc a, exposant maximum de A.

On en peut dire autant de tout autre fadeur premier, car l'ordre des nombres a, fr, c, . . . , peut être changé sans inconvénient.

W. Problème. — Mettre les nombres a et b sous les formes

ai et bi n'ayant que des facteurs premiers diviseurs de a et b, et de plus Ui étant premier à b et b^ à a.

Solution, — La décomposition en facteurs premiers donne immédiatement le résultat demandé, mais on peut le trouver par des recherches de plus grand commun diviseur, ainsi qu'il suit. On posera

54 INTRODUCTION A LA THÉORIK DES NOMBRKS.

el ainsi de suite, el l*on aura

a = a'"DJ«",D[«',D(/ï, *)]{.D[aM)(a, fc)].D(a,6),

el ainsi de suite. On a de même 6 = fc'D(fl, 6),

fc = fc"D[6',D(a,6)].D(a,6), fc=:fc-DJ6",D[6',D(a, 6)]j.D[fc',D{a, 6)].D(a,fc),

el ainsi de suite. L'opération se termine quand les diviseurs communs sont égaux à Tunilé.

Remarque. — La recherche du moindre multiple s*étend très-Cacilemeni aux polynômes algébriques

décomposés en facteurs du premier degré réels ou imaginaires, car les facteurs X — r,, x — r,..., peuvent être considérés comme premiers.

27. Théorème. — En désignant par 9 (m) le nombre des entiers non supérieurs et premiers ri m = A" B* C*. . ., on « 9 ( i ) = i et

Démonstration. — Pour trouver les entiers inférieurs et premiers à m, il suffit de supprimer dans la suite i, 2, 3,..., m les multiples de A, puis ceux de B qui ne le sont pas de A, puis ceux de C qui ne le sont ni de A, ni de B^ et ainsi de suite.

Or les multiples de A sont

au nombre de — : il reste donc A '

nombres non multiples do A,