NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX

Les multiples de B sont

au nombre de :^; mais parmi eux il y a des multiples de A au nom-

bre de p^? il reste donc "^ ( ^^ t ) "Multiples de B à supprimer; par conséquent

indique combien au-dessous de m il y a de nombres premiers à A et à B.

De même, comme parmi les nombres

il y en a

C, aC, 3l,. . . , ^C,

cl' A

premiers avec A et B, suppression faite, il restera

'"('-r)('-F)-ïï('-î)('-ïï)

nombres premiers à A, B, C, et ainsi de suite.

Remarque. — Pour m = A« on a

(p(A-) = A-'(A-i), et par suite

cp ( A«. B*. C^..)= 9 ( A«). 9 (B* ). 9 ( ^ ). . . .

En général, si /, m, n, . . . sont premiers entre eux deux à deux, on aura

28, Théorème. — On a, pour toute valeur de m, 2(f(d) = m, la somme s'étendant ti tous les nombres d diviseurs de m.

Démonstration, — Soit m = A^'B^C*. . . ; les nombres d diviseurs de m sont les termes du produit

(i-+-A-+-A'-f-...-f-A«)(i-hB-HB'...-hB*)(i-+'C-f-0-4-... + e)....

56 INTROmrc:TI(»!<f \ L% TIlfiORIV DR!( IVOIBRES.

Toul nombre 9 (r/) esl un icrmo du produit

[i4-9(A)-h9(AM-h...-h?(A-)][i^-9(B)-h...-h9(B*)] [i-f-V(<:)-H...4-?(C')]..., ei, comme on a

i-h9(A)-H-9(A«)-^...-+-9(A') = i-h(A— i)(A— -h...-hA-M)=A-, i-h9(B)-h...-h9(B*) = B*,

el ainsi des autres, il en résulte que

29. Théorème. — Le produit U n contient le facteur premier P avec r exposant

en supposant

Démonstration. -^l^our avoir Texposant de P dans lin, il suffit de considérer le produit

(les facteurs multiples de P. De même au lieu dei.2.3...E(pJ> on prendra le produit

P..P.3P...E(^).p = ..a.3...E(^).p'(^'), et ainsi de suite, de sorte qu'on aura

/("p)-Kf.)- -Kp") pour la plus haute puissance de P qui divise II w. Remarque. — Si Ton fait

n z=z a -+ frP-hcP'-+- rfP^ . . , a,b, f, .. ., étant positifs ou nuls, mais ini'érieurs à P, en calculant

TAANSFORlâfATlON DU PRODUIT Un. S']

les nombres E ( p ) ? ^^ (m ) ' ^^c., on trouvera