P^TT

L'expression p est une limite supérieure, quelquefois utile.

Théorème. — Si Ton pose

n = a-\-b-\~c-\-...y il en résultera

pî pî "^ pi- "^ p* * '

et par suite

E(f.)=ou>E(^,)^E(^,)^E(^.)....

Théorème. — U expression

. li[a-irb-\-c...)

n«. 116. Ile...

est un nombre entier.

Car les deux théorèmes précédents montrent que l'exposant de P au numérateur est au moins égal à celui de P au dénominateur.

50. Théorème. — Si Von représente par V{x) le produit 2.3.5.7... des nombres premiers non supérieurs à x, et par P* le produit

où ( V/ T ) ^*^ ^^^ pour E ( \/ -r)^ l* exposant du nombre premier N dans P* est l'entier E f ^^ j •

Démonstration. ~ Chaque produit P ( V/x ) ne renferme un nombre premier qu'une fois. Si N entre dans le produit P ( v/r)' *' <^n~ trera à plus forte raison dans les précédents. Il faut donc exprimer

58 INTRODUCTION A LA. TUÊORlJt DKS NOMBRES.

que Ton a

d'où Ton tire

n<(A+i)V, /i^AV, ce qui revient à

Ce nombre h est évidemment l'exposant de N dans Pit. Théorème. — On a

HW-p(v/i)-p(v/|)-

On s'arrête quand on a ^/i<C 2, c'est-à-dire n<^2P. Démonstration. — L'exposant du nombre premier N est, d'après le théorème précédent, E (■ï^ ) dans la première ligne, E ( î^ | dans

la seconde, E l-^ j dans la troisième, etc.

On a donc pour exposant de N dans le second membre de l'équation (a)

précisément comme dans le produit II n.

Ce dernier théorème a été trouvé par MM. Tchebichew et A. de Polignac, qui en ont fait usage dans leurs recherches sur les nombres premiers.

La formule de M. Tchebichew s'obtient en prenant les logarithmes des deux membres de l'équation {a).