TRANSFORMATION DU PRODUIT II

Remarque, — Si l'on pose

P(fi).P(v^":^).P(^n)...=P.(/0,

on obtiendra

Au moyen de cette formule et en partant de deux limites du produit n rty ou de son logarithme, M. Tchebichew a trouvé deux limites de P ( w ). Voyez son Mémoire sur les nombres premiers ( Journal de Mathématiques y tome XVII). La considération des deux limites de P(w) conduit à divers théorèmes, et entre autres à celui-ci : Au delà de a = 3 il y a au moins un nombre premier entre a et t. a — 2. Dans son Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme [Journal de l'École Polytechnique, 3o« cahier), M. J. Bertrand avait admis cette proposition comme Postulatum.

On tire de là différentes conséquences. Ainsi comme Ta montré M. Liouville, le produit

nw= 1.2.3. ../i

ne saurait être une puissance (carré, cube, etc.), ni un produit de puissances, puisqu'il y a au moins un nombre premier qui n'y entre qu'une fois comme facteur [Journal de Mathématiques, t. II, 2* série).

La démonstration de M. Tchebichew est probablement susceptible de simplification et de généralisation. On peut voir à ce sujet divers articles du prince A. de Polignac, insérés dans les Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences,

Les propriétés des nombres composés se déduisant de celles des nombres premiers, il est fort important de perfectionner et de simplifier la théorie des nombres premiers; ce sujet, qui présente de grandes difficultés, sera repris dans un des Mémoires qui suivront cette Introduction.

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