II
La différence entre deux termes consécutifs est constante. Pour or -h 6 on a
a(x-h i)-|-6 — [ax-r-h] =a.
La fonction entière du second degré ar'-h6x-^c. Si Ton donne à X les valeurs consécutives ... — 2, — 1, o, 1,2, 3,. . •, on obtiendra des nombres en progression arithmétique du second ordre, les différences des termes consécutifs formeront une progression arithmétique ordinaire. Voici l'exemple le plus simple, celui de la fonction x^ :
7» 9, II» i3, i5, 17, 19,
Les différences secondes sont constantes. La fonction étant ax\ la différence est 2 a.
Diff.
Diff.
FONCTIONS ENTIÈRES. 6l
Généralement, pourajc'-f- bx-hc, la différence est
«(^4- i)'4-é(^4-i ) 4- c-^(^2^'4-^^H- e)==«(2;rH-i )-|- 6== 2ar-4-«-h5,
Les différences premières sont en progression arithmétique dont la raison est a a et les différences secondes sont constantes et égales à i.2a.
La fonction du troisième degré ax^ -h bx^-+- cx+d donne' des nombres en progression arithmétique du troisième ordre, dont les différences troisièmes sont constantes, car les différences premières étant
n a[(x-\- iY — x^]-^b[{x -\-iy—x^)-\-c{x-\-i—x),
ou
a (3^^ H- 3^ 4-1 )-h & (2ar 4-i)-h c = 3aj;» -f-(3 ûH- 2ft)ar -h a -f- 6 4- c, on voit que les différences troisièmes sont constantes et égales à
En général, pour la fonction entière de degré m, on a des nombres en progression arithmétique du m'**"* ordre dont les m**™" différences sont constantes. Pour la fonction ax^ -\- bx"*-^ -\- . ..-\-fx-\-g, cette différence est i . 2 . 3 . . . ma.
N, B, Si au lieu de substituer pour x la suite des nombres naturels I, 2, 3, etc., on mettait des nombres en progression arithmétique de raison h, la. différence m"'"', pour la fonction du /n'*"' degré ax^ + bxf^K , ,-^fx -^-gy serait i .2.3. . .maA™.
Si Ton représente par
Wo» W|, Uiy W3, . . . , Mn
une suite de nombres et que leurs différences soient désignées par
M, Wo, Wî Ml,..., Un Mn
Am«, Ai/,,..., AW;h-i,
puis leurs différences secondes
Aw, A Mo,- A Ma — Am, ,. . ., Am„, — Am„,
par
A' Mo, A^M, ,..., A'M„2,
6jl introduction a ja théorie des nombres.
ei ainsi de suite, on déduira facilemenl de ces notations
M, = M, -h 2 A Ut -t- A' I/o ,
M3= M, H- 3 A M, -f- 3 A' //«-h A* M,, et généralement
Ui=u, -i-/rA«.H ^^ — "^^^ A»M,-H.. . -+- fr A*-' w, -f- A* w, ,
On trouvera semblablement
A*Mo=W2 2M, -hM,,
A' llo = Ma 3 «2 -f- 3 W, M, ,
et généralement y
à*Ut=Uk— k Uk-i-\ Uk-i — . . . ±/rM, ipi/g.
Ces formules, utiles dans plusieurs questions, sont exposées avec tous les développements nécessaires dans les Traités d'algèbre.
