CHAPITRE VII
RESTES DES NOMBRES EN PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE. - THÉORIE DES LOGARITILMES MODULAIIIES OU POUH UN MODULE DONNÉ. - TABLES OU CANON ÀRITHMETJCUS DE JACOBI.
^0. On sait que, le nombre a étant premier à m> il en résulte
a:^ ' ^ I , mod. m , d*oii
a ^^ 'ss I, mod. m,
quel que soit l'entier positif /r; d'après cela, pour abréger les énoncés des propositions, on admet les définitions suivantes :
1. Quand a* est la moindre puissance de «, autre que «% qui soit congrue à l'unité pour le module m, on dit que le nombres appartient à l'exposant e pour le module m.
IL Les restes de i, a, aS..., «•-' divisés par m composent la période du nombre a pour le module m.
Théorème. — Les termes de la période du nombre a, qui appartient à V exposant e, pour le module /w, sont inégaux et en nombre e diviseur de 9 ( m ).
Démonstration, — Par hypothèse on a a'^ i, mod. /n, et pour des
exposants a, (3 moindres que e on ne saurait avoir «^'^i, a^i,
mod* m. On i\e pourra pas non plus avoir a ^cty mod. m, car il
en résulterait a ' ^ i , mod. m, ce qui est impossible, a — (3 étant inférieur à e. •
Les restes de la suite
étant inégaux, Il en est de même de ceux des nombres
qui reviennent à ceux de la suite
él, en général, de a'^ i, mod. m, on lire
àr^é*^, mod. m;
ce qtiî riîbritre que les restes des termes de fa progression indéfini^ nient prolongée se réproduisent périodiquement. Les termes
étant les seuls congrus à i pour le module m, puisque c? l'est aussiv H est nécessaire que <^(ni) soit multiple de e, ou autrement que e soit diviseur de 9 (m).
Seconde démonstration, — Si Ton établissait, comme le fait Eqler, que Texposant auquel appartient a pour le module m est diviseur de <p(/w), comme on aurait-
(p(m) = /re, af^\, mod. m, .il ea résulterait . ,
V ' ^^ . ' , , a? '^^i, mod. m.
Y<^ici la démonstration d'Euler :
Les restes de
o« les termes de la période de «, sont différents et premiers à m. Si Ton n'a pas <p (m) = ^, soit b un nombre inférieur et premier à m et de plus non compris dans la suite (i) ; on formera la suite
{p^) b, ba, ba^y,..y ba^"^;
les restés de ces nombres seront tous différents entre eux, puisque
ba'^ba y môd. m, supposerait que Toti a (t ^a y mod. m. Us seront aussi différents des nombres de la suite (i), puisqu'en suppo-
sant ba ^a , mod. m, il en résulterait pour (3> a,
b^^a , mod. m, ce qui est contre Thypothèse. Pour a > p, en mulliplianl par a
86 INTRODICTION A LA THÉOIIIE DES NOMBRES.
il viendrait
r 3 -j.- f ijt p '« fl-,
Ort ^rt' OU u^a , moa.//i,
conlrairemeni à l'hypothèse.
Si Ton n'a pas (p(m) = 2e, outre les 2e nombres des séries (1), (2), il y en a d'autres encore inférieurs et premiers à m. Soit c un tel nombre, on montrera de même que les restes de I9 suite
(3) c, ca, ca\*..j va'-*
sont premiers à m, différents entre eux et des restes des suites (1), (2), de sorte que l'on aura 3 e nombres inférieurs et premiers à m. En continuant de même, on trouvera que l'on doit en avoir <p(^)=rAre, car supposer que ^(/n ) = he -h r, c'est supposer par là même que 9 (m) est au moins égal à (/r -h i)e.
Exemple. — Soit m = 3r, le nombre 2 appartient a l'exposant 5; de sa période
on tire
Au moyen de (i) on a obtenu tous les autres nombres inférieurs à3i dans l'ordre particulier indiqué par les suites (2), (3), (4), (5), (6).
47. Il se présente ici plusieurs questions. Le nombre d étant diviseur de 9 (/w), y a-t-il des nombres appartenant à l'exposant rf? Combien y en a-t-il (on les suppose inférieurs au module)? Comment peut-on trouver ces nombres?
Pour résoudre ces questions, il convient d'examiner séparément les différentes formes du module.
Du module 2*".
Les nombres premiers à 0.'" sont les nombres impairs; comme ils ont nécessairement une des formes 4A*4-i, 4^ — »> en rtiettant en
