RÉSIDUS POUR LE MODULE

évidence la plus haute puissance de i qui divise /r, on peut poser

i =± I -4- ti «;

dans celte formule les lettres û, i représentent des nombres impairs, Texposant a, qui est au moins 2, peut être pair ou impair. Sous cette forme, on voit de suite à quel exposant appartient le nombre /. Le nombre i, qui n*est pas contenu dans cette formule, appartient à Texposant 1. Les nombres 2*" — 1, 2"'-' ±1 qui y sont contenus appartiennent à Texposant 2. En général, on a cette proposition :

Théorème. — Le nombre impair / =ih:i-f-2*a, oà a est impair,

appartient à l'exposant 2

Démonstration. — Si Ton cherche quelle est la plus haute puissance de 2 qui peut diviser i" — i, le nombre /i étant pair ou impair,

en mettant n sous la forme nz^z^r b^ le nombre h étant impair, on a d'abord

\±i-l-2 a) =zti-+-6>.2 .a±-^ 2 a -h-..-

Comme à partir du troisième terme l'exposant de la plus haute puissance de 2 qui divise chaque terme surpasse a, on aura

le nombre c étant impair. Si Ton élève maintenant à la puissance 1 , comme 1 on a

\±:H-2 C) =H-2 C\7, C±lj=I-f-2 rf,

le nombre d étant impair, on aura, par suite d'élévation successive au carré,

(± iH- .%)''' = . -H ."-^V.

/étant impair; par suite,

g étant impair.

Ainsi, quel que soit 6, le nombre |3 restant le même, 2^"*"^ est la plus haute puissance de 2 qui divise t — i.

sa Ton fait 6 = I et a -f- 13 = m, d'où p = m — «, on verra v^ appartient à Texposant i "~ *^. On a

comme a est au moins 2, l'exposant est non-seulement diviseur de

^fî"), comme ila été prouvé, mais il l'est même de-9(2'"). Ce n'est

que pour les modules 2 et 4 qu'il faut s'élever jusqu'à L'exposant 9(2").

Pour le module 2, le nombre i appartient à l'exposant i« diviseur de-9(2) = i.

Pour le module 2* = 4, le nombre i appartient encore à l'exposant I, mais 3 appartient à l'exposant 2 = 9(4). .1

Pour le module 2' = 8, le nombre i appartient à l'exposant ly les

nombres 3, 5 et 7 appartiennent à l'exposant 2 = - 9(2»),

Quand on a trouvé la moitié des termes de la période du nombre /, l'autre moitié s'en déduit par la proposition suivante :

'Théorème* — Quand on a trouvé la première moitié de la période^ en augmentant ou diminuant les termes rfea*-', moitié du module, on a les termes de la seconde moitié.

Démonstration. — Si le nombre / appartient à l'exposant pair

2a>2, comme 1^* — 1 = (/'^ — i) (/"^H-i), a étant pair, le deuxième

facteur est divisible para et non par 4; i^ — i, qui ne peut être divisible par 2"", Test donc par 2"*-', et l'on a

I *= I -H 2»"-» û = ï H- 2*»-* -h 2*. A"; le nombre a étant impair, multipliant par 1''=: 2/r'-hi, il vient

Remarque. — Si l'on avait i*'^7r*-\ comme 2*"= 2"^' 4-2'""', on ferait

c'est-à-dire qu'il faut, pour avoir le reste de i*^'^'!, diminuer ou augmenter de 2"'-' celui de l^