RÉSIDUS POUR LE MODULE S

48. Le plus haut exposant auquel puisse appartenir un nombre impair pour le module 2'">4 est donc 2"*"^ Gela arrive pour les nombres ±:h-4(2A*-m), ou 8/r-f-3, 8/r4-5.

Dans ce cas la période contient 2*"-' nombres impairs, c'est-à-dire la moitié des nombres impairs inférieurs à 2"*. Au-dessous de 2"», il y a 2"*-» nombres impairs partagés en quatre classes :

1** Les nombres 8A*-f- 1. au nombre de 2'»-*.

2*» Les nombres SA- -1-3 id.

3*» Les nombres 8k -h 5 id.

4^ Les notables 8 fr+- 7 id.

La période d'un nombre SA* 4- 3 ou 8k + 5 donne comme restes des puissances paires les nombres 8 k -\-i.

La période d'un nombre 8 A* -t- 3 donne les nombres 8 A* -h 3 comme restes des puissances impaires.

La période d'un nombre 8 A* H- 5 donne les nombres 8 A* -h 5 comme restes des puissances impaires.

On ne trouve janiais les restes de la forme 8A'-f-7.

49. Quand on a calculé la période du nombre 3 ou 5 pour un module 2*", on peut en déduire la solution de diverses questions.

Prenons pour exemple le module 32; le plus haut exposant auquel

puisse appartenir le nombre impair 3 est 8 = ^ 32. La période aura

8 termes

coïpme on 1^ voit,

17=1-1-16, 19=3-1-16, a5=9-hi6, 11=; 27-1- 16 — 32.

Si l'on veut rendre x* — a divisible par 32, il faut d'abord que a ait la forme SA^H-î. Soit « = 17, en posant ^^3^, a= 17^3", il vient

Cette équation ne peut être satisfaite qu'en posant ^f— a=^8t. Or ici a =^4» donc j = i -1-2/, j=i, 3, 5, 7,. . . donnent

qui peuvent être pris avec le signe — i ; il y a donc 8 nombres inférieurs à 32 qui rendent a?* -^17 divisible par 3a, comme on le vérifie facilement.

go IKTRODUCTIOIf À LA THÉORIE DES NOMBRES.

Pour rendre x^ — a divisible par 3a, si a esl de la forme 8k 4- 3, par exemple 19, il se trouvera parmi les restes, on aura

19 «3^ Soit ;fss 3^, mod. 82, on aura

divisible par 32; il faut avoir 3j — 5 divisible par 8, ou bien encore 7 -f-i divisible par 8, 7 = 8^ — i, de là 7=:= 7, j;=: 1 1. Ainsi, pour Vendre x^ — 19 divisible par 32, il faut prendre ^=:: 11.

Si a avait été de la forme 8/r-f-5, il n'aurait pas élé compris dans la période, on aurait fait x^ — 7, de là

r*^ — a, mod. 32.

Soit a= i3, comnoe 3a — 1 3 = 19, on aurait eu y^ ^ 19. On a, comme on Ta vu, j= ï ï , donc

On voit par ces exemples l'utililé d'une Table qui donnerait les restes de la période du nombre 3, pour le module 2"*, et celle d'une seconde Table qui pour un reste donné ferait connaître l'exposant de 3. Autrement, en posant

aês3*, mod. 2*,

la première Table donnerait a connaissant a, et la seconde a connaissant a.

Voici pour le module 128 = 2' la disposition des Tables d'après Jacobi :

A. Nombres {correspondant auTi Indices). B. //i</ice5 (correspondant aux iVo/»&rc5).

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