USAGE BES TABLES
Pour la Table A, il faut remarquer que dans la période de 3 les restes qui surpassent la moitié du module 128 ont été remplacés par leur complément. On a 3' = 8i et8i>64, ce n'est pas 81, mais c'est 128 — 81 = 47 que l'on a inscrit sous l'indice 4« A l'indice 24 on voit correspondre 3i = 3. 8-1-7; un tel reste n*a ï)ti se présenter, c'est 128 — 3i = 97 qu'il faut prendre.
Cette Table A, qui donne les nombres qui correspondent à des indices connus, étant faite, on en déduit la Table B, qui donne les indices des nombres connus. Au nombre 39 = 4 -8 H- 7 on voit répondre 6, mais le reste Sg ne peut se présenter, 6 répond en réalité à 128 — 39 = 89.
En ayant égard à cette remarque, l'emploi de la Table est trèssimple.
PftOBLÊME. — Résoudre la congruente ^^73, mod. 128, ou ('équation a:* = 73 4- 1 28 j.
Solution. — Les valeurs de x sont égales deux à deux et de signe contraire. Si ^=: a satisfait, il en sera de même de — a ou 128 —- a; comme a est nécessairement impair, des nombres a, 128 — a, l'un appartiendra nécessairement à l'une des formes 8/r-f-i, SA- -h 3, nombres qui, pour la base 3, répondent à de certains indices. Une de ces deux valeurs doit être donnée par la Table. On a, en posant 73 =: 128-^55,
73 s 3'% mod. 128.
Soit X ^ 3*»**', mod. 128, il vient
34înd*^3.i^ mod* 128,
3<ind«— 18 ^~ I
OU bien
ce qui ne peut arriver que pour 4 ind^c — 18, multiple de 32 = ^128;
or cela est impossible, l'équation Test donc aussi ; mais ;r^= 73 H- 1 28 j ne l'est pas. Dans ce cas, il faut poser
2ind^ — i8 = 32j^, ind^ = 9-1-16/, de là ,
ind;r=:9 et ind^ = 25,
auxquels répondent ^=: 29 et ^= 35.
Ainsi la congruence x*^73, mod. 128, est impossible. La con-
gruence x^^']^, niod. 128, a quatre solutions ±29, ±35; la substitution les vérifie.
Problème. — Résoudre la congruence x^is33, mod. 128. Une telle congruence, l'exposant étant impair, est toujours possible. Comme 33 = 8.4-1-1, 33 a un indice, et Ton devra poser
7indj: — ind33 = 32.>';
comme ind33 = 8, on a
7 i n ( I :r = 8 -f- 3 2 7 = 8 ( I -4- 4 > • ) ; X=i5 donne
i-f-4j = 2i = 3.7; donc
ind^ = 24, et généralement
ind.r = 24-1-32;;;
mais il suffit de prendre indjr = 24, d'où
JT = 1 28 — 3 1 • On vérifie que Ton a
3Ps65, 3i*s95. 3i*si, 3i's95s— 33; donc
(— 3i)-^33, mod. 128.
Problème. — Résoudre la congruence x^^3r, mod. 128. Le nombre 3i étant de forme Sk -1-7, on fera
( — ar)*s3 — 3i es97.
Au nombre — 3i répond 24; en posant — x = z, il viendra
5indz — 24= 32j^% ou bien
5indz = 8(3-f-4r); /=3 donne
3h-4j=i5, donc
indz=:24, d'où
z=z — 3i et ^ = 31;
RÉSIDUS POUR LE MODULE PREMIER P. g3
et, en effet, on n, d'après les calculs précédents,
Sans avoir égard à ces changements de signe, on posera
5inda: — indSi^o, mod.32, de là
ind^==24, ^ = 3i.
En général, étant donnée la congruence
ax"^bf mod.2'", on en déduira
inda-h wind^ — indft^o, mod. a*^', ou bien
nindx = \ndb — inda+ 2'"-'j5.
Pour la possibilité, il faut que la plus haute puissance de 2, qui divise n et 2"'-% divise aussi indft — inda.
Du module premier impair P.
50. Pour un module premier impair P, quand on a trouvé Texposant diviseur deP — i auquel appartient! un nombre a plus petit que P, on prouve de diverses manières qu'il y a des nombres appartenant à Texposant P — i et qu'ils sont en nombre 9 ( P — i ). On prouve plus généralement que, qi^el (jue soit rf diviseur de P — i, il y a <p(rf) nombres plus petits que P et appartenant à Texposant d.
Si le nombre a appartient à l'exposant rf, on a a*' — i multiple de P, a est donc l'un des d nombres inférieurs à P qui rendent x^ — i multiples de P. De plus, les restes, tous différents, des nombres
divisés par P sont les seuls nombres qui puissent rendre ^ — i multiple de P; c'est donc parnii ces restes qi^'il faut chercher les autres nombres qui pourraient appartenir à l'exposant d. Pour savoir à quel exposant appartient a', ou, ce qui est la même chose, le reste de a' divisé par P, il faut trouver le moindre nombre e qui donnç ie,
multiple de d. Comme le moindre multiple de i et d esl - ^ , , . <,
D(rf, I)
il faudra prendre e = — — — . Ce nombre ne peut être égal à d que
si Ton a D (£/,/)=: I, ou / premier à d. Comme au-dessous û» d il n*y a que 9 ( J) nombres premiers à rf, on aura celle proposilion :
THÉORfcME. — S'il y a un nombre a qui appartienne à V exposant d, il y en aura 9 (rf) donnés par la suite
